從一道中考題說(shuō)開去

　　摘要：筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以一道中考題為背景，分析了“重合”這個(gè)重要的卻沒(méi)有明確定義的概念，指出“重合”作為平面幾何的研究方法之一，其定義是不應(yīng)該缺少的，并認(rèn)為在直線位置關(guān)系的教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出“在同一平面內(nèi)，兩條不重合直線的位置關(guān)系只有兩種：平行或相交”.
　　關(guān)鍵詞：中考題；平面幾何；重合；數(shù)學(xué)教學(xué)
　　
　　前幾年南京市中考題第四大題第27小題，用反證法證明“若a∥b，b∥c，則a∥c”，第一步是假設(shè) （）
　　A.a∥b
　　B.a與c相交
　　C.a與c不平行
　　D.a與c既不平行又不相交
　　中考閱卷中，統(tǒng)計(jì)得到有31％的學(xué)生選B，也有46％的選C，有14％的竟然選B，C，問(wèn)題究竟出在什么地方？到底選擇什么？
　　幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式的一門學(xué)科.作為平面幾何，則是以平面圖形為研究對(duì)象的一門基礎(chǔ)學(xué)科，它主要研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，它以少量的公理為基礎(chǔ)，根據(jù)學(xué)生的接受能力和水平而設(shè)置.其中有這樣一個(gè)公理：“在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：平行或相交”.這就是說(shuō)，兩條直線的位置關(guān)系不是平行就是相交，從而否定了或者忽視了兩條直線的重合關(guān)系，導(dǎo)致了那些死記硬背公理、定義的學(xué)生選擇了B或C.
　　問(wèn)題根源就在于忽視了“重合”.沒(méi)有重合，在角的概念中就會(huì)出現(xiàn)矛盾，課本中對(duì)角的定義是“這種有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，叫做角”，這樣周角就可以理解為不是角或一條射線，盡管教材中強(qiáng)調(diào)“周角的兩邊重合成同一射線，也不能說(shuō)成一條射線，這里要求學(xué)生清楚這種區(qū)別.”作為平面幾何，它研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，圖形的形狀是什么，應(yīng)該就是什么. 沒(méi)有重合，會(huì)把簡(jiǎn)單的特殊問(wèn)題弄得很復(fù)雜，而周角在幾何圓中，圓心角是可能為周角的.
　　就上面提出的“在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：平行或相交”這一結(jié)論和現(xiàn)實(shí)的空間存在矛盾.如：以課本每頁(yè)的邊為一直線，在合起來(lái)后，緊鄰的兩頁(yè)的邊所代表的直線就重合在一起. 如果按照課本的定義，此例要么不是現(xiàn)實(shí)空間存在的形式，要么一本書的一頁(yè)就等于一本書，從而在教學(xué)中出現(xiàn)無(wú)法解釋的現(xiàn)實(shí).再如試題中，要求寫出反證法證明的第一步，我們知道反證法證明的第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，那就是假設(shè)a與c不平行，那當(dāng)然選C；但喜歡動(dòng)腦筋的同學(xué)卻選擇了B，他們的依據(jù)是在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：平行或相交.也就是說(shuō)，兩條直線的位置關(guān)系不是平行就是相交，那當(dāng)然是不平行就相交了.導(dǎo)致有的學(xué)生既選B又選C. 課本中把重合的直線（點(diǎn)）看成是同一條直線（點(diǎn)），這就更近一步地為以上的選擇找到了依據(jù)，如果有重合的概念，就不會(huì)有選B的可能. 也就是說(shuō)“在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交或重合”，這樣兩條直線的位置關(guān)系不平行，有可能相交，有可能重合，但課本中并沒(méi)有出現(xiàn)“重合”的概念.在我們的教材中卻多次出現(xiàn)重合這兩個(gè)字，如在線段的比較與度量中，“把線段AB放到線段A′B′上，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，…”；在角的比較與度量中，“把∠AOB放到∠A′O′B′上，使頂點(diǎn)O與O′重合，射線OA與O′A′重合，…”；在全等三角形中，“能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.” 兩個(gè)全等的三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角. 教材中多次出現(xiàn)“重合”，為什么不給一個(gè)明確的定義呢？在教學(xué)中到底要不要強(qiáng)調(diào)“重合”這一概念呢？是否真的可以忽視這一概念呢？
　　筆者認(rèn)為在幾何教學(xué)中，“重合”是一個(gè)非常重要的概念. “重合”作為平面幾何的研究方法之一，其定義是不應(yīng)該缺少的. 課本在引入三角形全等的條件中，條件1、條件2都是在承認(rèn)重合的前提下得出的結(jié)論，用重合的方法展開了全等三角形的判定、性質(zhì)的全面研究，在說(shuō)明“邊、邊、邊”定理中，就是先使其中一組對(duì)應(yīng)邊重合. 用重合的方法也使中心對(duì)稱、軸對(duì)稱及其性質(zhì)在說(shuō)明其他定理和解題中得到了應(yīng)用，可以說(shuō)初中平面幾何里研究“相等”“全等”的方法都是通過(guò)搬移讓它們重合而得到的. 由于課本前面不提“重合”這一概念，在后面只能默默地使用，導(dǎo)致了教學(xué)中難于強(qiáng)調(diào)它，總結(jié)它，從而給教學(xué)帶來(lái)了不便，導(dǎo)致學(xué)生解題出現(xiàn)錯(cuò)誤.
　　作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容之一的平面幾何學(xué)，它除了要體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)，還要尊重學(xué)科的客觀性和整個(gè)數(shù)學(xué)的相容性.在現(xiàn)實(shí)的生活中，點(diǎn)、線、面的重合是顯而易見的. 如三角形三條中垂線兩兩相交，交點(diǎn)重合. 特別是前面提到的：在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系中顯然有重合關(guān)系. 因此在幾何教學(xué)中，應(yīng)強(qiáng)調(diào)“重合”這一概念，重視重合在平面幾何教學(xué)中的作用.
　　在直線位置關(guān)系的教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出：“在同一平面內(nèi)，兩條不重合直線的位置關(guān)系只有兩種：平行或相交”，使學(xué)生清楚地知道，知識(shí)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，又區(qū)別于現(xiàn)實(shí). 生活中處處有數(shù)學(xué)，我們要善于利用生活化的“數(shù)學(xué)材料”讓學(xué)生去體驗(yàn)，去感受.當(dāng)然，我們也應(yīng)該知道：反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，也就是說(shuō)假設(shè)C“a與c不平行”是反證法證明的第一步，而B“a與c相交”那是證明的第二步了.從這個(gè)意義上講，只談第一步不談第二步那就應(yīng)該選C“a與c不平行”.但從平行的對(duì)立面來(lái)講，不平行是個(gè)什么結(jié)果呢？
　　教材就是教科書，一般而言，教師讀學(xué)教材必須要同步甚至超前一點(diǎn)，好好研讀與教材有關(guān)的《課程標(biāo)準(zhǔn)》的教學(xué)要求，要盡可能去讀一些教材編寫者的關(guān)于教材編寫的意圖、體例、內(nèi)容的文章.課本是教師教學(xué)的依據(jù)，教師教學(xué)離不開教材，教師要達(dá)到科學(xué)地、創(chuàng)造性地運(yùn)用教材，就得要深入地研究教材，甄別教材.