從2011年高考看“計數原理”

　　摘要：本文結合考試大綱與2011年高考試題中的部分亮點題目，分析在新課程改革的背景下，“計數原理”在高考試題命制時的規律、特點及發展趨勢.
　　關鍵詞：2011高考；計數原理；命題規律；命題趨勢
　　
　　2011年高考已然落下帷幕，隨著新課程改革的進一步深入與實施范圍的再擴大，本文將結合2011年全國各地高考試題的命制情況，探究“計數原理”在2011年試題命制上的一些特點以及今后的發展趨勢.
　　
　　從考試大綱看“計數原理”
　　普通高等學校招生全國統考大綱（文理）對“計數原理”部分的要求：
　　1. 考試內容
　　分類計數原理與分步計數原理；排列、排列數公式；組合、組合數公式；組合數的兩個性質；二項式定理、二項展開式的性質．
　　2. 考試要求
　　①掌握分類計數原理與分步計數原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題；
　　②理解排列的意義，掌握排列數計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題；
　　③理解組合的意義，掌握組合數計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單的應用問題；
　　④掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們計算和證明一些簡單的問題．
　　注：新課程標準的考試大綱（文科）對這部分不做要求.
　　從命題特點看“計數原理”
　　?搖?搖分析2011年各地高考試題，對“計數原理”的考查有這樣幾個特點：
　　1. 貼近大綱和課程標準，著重考查基本概念.本部分在命題時，嚴格按照大綱和課程標準的規定出題，重在考查學生對幾個原理和定理的掌握情況，沒有太多的知識綜合，即使綜合其他部分來出題，所結合的知識點也相對比較固定.
　　2. 題型結構與分值相對穩定. 本部分試題考查的主要題型是選擇題和填空題，個別試卷在概率大題中用到本專題知識，一般不會重復出現，前者分值大約4～5分，后者多為12分左右，新課標的文科試卷中沒有本部分知識. 若出現創新元素，多為選擇或填空最后一題.
　　3. 貼近學生的實際生活. 本專題的實際問題都是每個學生熟知的事物，對每個學生都是公平的，正如課程標準中所要求的——使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力.
　　4. 試題含創新元素，學生答題需跳出常規思維. 這類題目不是通過背題型和知識能夠解決的，而是需要一種深度的思考. 這也符合新科程理念下命題的核心指導思想：由知識立意到能力立意，以考查主干和核心知識為載體來考查數學的思維方法.
　　從2011年的高考數學試題看“計數原理”
　　試題展示一：
　　（湖北理15題）給出n個自上而下相連的正方形著黑色或白色. 當n≤4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如圖1所示：
　　
　　圖1
　　由此推斷，當n=6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案有_______種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有_______種. （結果用數值表示）
　　本題答案21，43.
　　方法解析法1 當n=6時，最多可以有3個黑色正方形，用插空的方法放置，共C=4種不同的方法；有2個黑色正方形時，用插空的方法放置，共C=10種不同的方法；有1個黑色正方形時，用插空的方法放置，共C=6種不同的方法；沒有黑色正方形時，有1種方法；所以當n=6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案有4+10+6+1=21種.
　　第二問用間接法考慮. 當n=6時，共有不同的涂色方法26=64種，減去黑色正方形互不相鄰的著色方案，還剩64－21=43種.
　　法2設個正方形時黑色正方形互不相鄰的著色方案數為an，由圖1可知，a1=2，a2=3，a3=5=2+3=a1+a2，a4=8=3+5=a2+a3，由此推斷a5=a3+a4=5+8=13，a6=a4+a5=8+13=21，故黑色正方形互不相鄰的著色方案共有21種. 第二問同解法一，故分別填21，43.
　　試題點評本道題目以分類加法原理和組合模型為基礎，采用著色問題的形式呈現題目，既可以用計數原理的知識解決，也可以從歸納推理入手，多角度考查考生的探究能力. 今年湖北的數學試題，在關注社會熱點、強調應用意識、引入數學史料、創設開放情境、體現大眾數學、拓展數學視野、考查探究能力等多方面不失時機地滲透新課程理念，為實現與明年新課程試卷的自然對接作了一些有益的嘗試.為實現這一目的，一方面采用多元化、多途徑、開放式的設計題目，全面檢測考生觀察、試驗、聯想、猜測、類比、探究等思維品質，另一方面有意識地對接新課程的大眾數學思想，引導中學數學教學在知能并重的同時，拓寬學生的數學視野，提高學生的數學素養.本題系試卷中一亮點題目.
　　試題展示二：
　　（上海理文12） 隨機抽取9個同學，至少有2個同學在同一月出生的概率是________（默認每月天數相同，結果精確到0.001）.
　　本題答案0.985.
　　方法解析根據分步乘法原理，9名同學的生日分布共有129種不同的情況，如果任兩名同學的生日不相同，則共有A種不同的情況，由間接法知，至少有2個同學在同一月出生的概率是1－.
　　試題點評本題緊緊圍繞教材，依照教材的例題改編而成，考察了學生對計數原理的掌握情況，同時本題也是概率論的經典問題，用以說明有些直觀想法可能與實際結果相差很遠，間接告訴人們要理性分析科學問題. 今年上海卷的考題，著重考查高中數學的基本知識與基本內容，本著有利于推進素質教育、有利于高校選拔新生、有利于培養學生創新和實踐能力的原則來設計. 如同本道題一樣，題目大多立足于數學學科的特點，鼓勵中學數學教學在合理的范圍內對一些數學概念進行必要的分析和拓展，提高學生對數學的興趣，希望學生認識到數學在科學中的重要性.
　　本題的另一個明顯特點是考查考生對數學概念的領悟能力. 題目本身不難，大多數考生可以解答. 若不加分析就計算，可能就會失分. 要是先進行分析和探索，綜合自己掌握的數學知識，找到合適的切入點，問題就迎刃而解. 此外，源于教材、加強基本知識教學、反對題海戰術是題目設計的另一個出發點，如果我們能在高考試題的設計上更注重引導學生在做一定量的數學試題和提高學習興趣之間尋找一個平衡點，這樣就可以爭取更多的中學課堂回歸到素質教育的講堂中來.
　　試題展示三：
　　（湖南理16）對于n∈N*，將n表示為n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak-1×21+ak×20，當i=0時，ai=1；當1≤i≤k時，ai為0或1. 記I（n）為上述表示中ai為0的個數（例如1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），則（1）I（12）=________；（2）2I（n）=________.
　　本題答案（1）2；（2）1093.
　　方法解析（1）因12=1×23+1×22+0×21+0×20，故I（12）=2；
　　（2）在2進制的k（k≥2）位數中，沒有0的有1個，有1個0的有C個，有2個0的有C個，…，有m個0的有C個，…，有k－1個0的有C=1個. 故對所有2進制為k位數的數n，在所求式中的2I（n）的和為1?20+C?21+C?22+…+C?2k-1=3k-1. 又127=27－1恰為2進制的最大7位數，所以2I（n）=20+3k-1=1 093.
　　
　　試題點評本道題是新定義一種表示，要求考生運用二進制、排列組合、二項式定理、等比數列等基礎知識以及分類與整合的數學思想解決問題.?搖 從題目設計的角度來看，此題注意了題目設制的多元化，全面考查考生的數學素養，即關注對“三基”（基礎知識、基本技能、基本思想方法）的考查，又在設計試題時注重了從教材中引申一些新的數學概念、符號，要求考生運用所給的新概念或符號作進一步的運算、分析、推理來解決問題.
　　2011年是湖南實施新課程高考的第二年. 從本題的設計可以看出，今年試卷的命制在去年試卷命制的基礎上進一步加大了改革力度，充分滲透新課改理念，在注重考查知識與技能的同時，加大對過程與方法的考查. 深化能力立意是數學命題一直以來的追尋目標. 在命制理念上突出全面的能力因素，多元化的能力層次；在命制構思上注重通性通法，堅持用數學基本思想方法解決問題；在試題呈現上突出新穎性.
　　試題展示四：
　　（湖南文16）給定k∈N*，設函數f：N*→N*滿足：對于任意大于k的正整數n，f（n）=n－k.
　　（1）設k=1，則其中一個函數f在n=1處的函數值為________；
　　（2）設k=4，且當n≤4時，2≤f（n）≤3，則不同的函數f的個數為________.
　　本題答案（1）a（a為正整數），（2）16.
　　方法解析（1）由題可知f（n）∈N*，而k=1時，n>1，則f（n）=n－1∈N*，故只須f（1）∈N*，故f（1）=a（a為正整數）.
　　（2）由題可知k=4，n>4，則f（n）=n－4∈N*，而當n≤4時，2≤f（n）≤3，即f（n）∈｛2，3｝. 于是n∈｛1，2，3，4｝，f（n）∈｛2，3｝，由乘法原理可知，不同的函數f的個數為16個.
　　試題點評本道試題在設計上注重了對學生創新意識的考查，題目本身區別于傳統計數原理題目的編排模式和常見應用背景，形式新穎，讓考生有耳目一新的感覺. 創新意識是理性思維的高層次表現. 在數學學習和研究過程中，知識的遷移、組合及融匯的程度越高，展示能力的區域就越寬泛，顯現出的創新意識也越強. 因此，在數學考題的設計上，注意試題形式的多樣性、考查內容的層次性、呈現問題的開放性與探索性等，以加強對考生創新意識的考查，是新課程改革的重要內容. 如何利用好高考命題的機會，對傳統內容試題的設計力求推陳出新，對新增內容的試題設計關注與傳統內容的交匯融合，以形成聯系廣泛、背景新穎、結構精巧的試題對于促進新課程改革的縱深發展有著重要的指導意義.
　　
　　從命題趨勢看“計數原理”
　　計數原理是高中數學相對獨特的一個知識板塊，高考對該部分的考查主要從兩個方面進行. 一是以選擇題或填空題的形式有針對性地考查兩個基本原理，排列、組合知識在實際計數中的應用，考查使用二項式定理解決二項式系數、項的系數以及簡單的實際問題；二是在概率解答題中考查利用計數原理求解等可能性事件的概率，在綜合解答題中的某個環節考查二項式定理的簡單應用. 從近幾年課標地區的高考試題來看，計數原理、排列、組合的考查以其應用為主（實際計數、計算概率），二項式定理的考查以其通項公式為主.
　　?搖預計以后的高考會延續以前的傳統，考查計數原理、排列組合解決實際計數問題和在計算概率中的應用，考查二項式定理的通項公式的應用、考查二項式定理在簡單問題中的應用.試題也將更貼近學生的實際生活和學生熟悉的社會生活.