再議謹防結論正確的差錯

　　摘要：本文針對一位作者對另一位作者公開發表的一道題的解法的評議，指出這位作者的評議將一個正確的解法糾為錯誤的解法，分析其糾錯而產生的錯誤的原因并給出反例，提出對于結論正確而解法錯誤的解題過程要仔細推敲，嚴防“重結果輕過程”帶來的負面效應．
　　關鍵詞：糾正為錯；正確的差錯
　　
　　問題提出
　　?搖石亮發表在《數學通報》上的文章《一個學習疑難問題的成因分析》，以問題“已知x∈［－1，1］時，f（x）=x2－ax+>0恒成立，求實數a的取值范圍”為例，采取數形結合和分類討論的解題教學方法，闡述“處理問題時切不可‘滑過’，而要‘循序漸進’”． 楊飛在人大復印報刊資料《高中數學教與學》上發表的文章《改進解題教學 減少學習疑難》一文中，對石亮的文章進行了尖刻的評議：“這樣的文章給教學一線的數學教師感受是‘荒唐可笑’的.”并進一步質問“此問題一定要分類討論嗎？一定要數形結合嗎？按二次函數對稱軸與區間的位置關系進行分類，學困生能做到嗎？”他認為“此題本是一個簡單問題，由于教師落后的解題教學，…，是教師人為制造的困難．” 他之后，給出該題的一種簡單解答：
　　當x∈［－1，1］時，f（x）>0恒成立，等價于f（x）>0．
　　又f（x）min=minf（1），f（－1），f，所以f（1）>0，f（－1）>0，f>0，解得0　　對此，筆者對上述的評議有異議．
　　
　　問題解析
　　1. 該“簡單解答”存在問題
　　問題出在f（x）min=minf（1），f（－1），f．
　　若f（1）>0，f（－1）>0，f>0， 則必有f（x）>0在x∈［－1，1］時恒成立；
　　反之，f（x）>0在x∈［－1，1］時恒成立，并非一定要f>0．
　　石亮對該題的處理并無不妥．
　　2. “結論正確，解法錯誤 ”的原因
　　實際上，由f（x）=x2－ax+>0（x∈［－1，1］）恒成立的必要條件f（1）>0，f（－1）>0， 得－　　3. 按“簡單解答”得出的錯誤結論的例子
　　結合上述分析，只要使由f（1）>0且f（－1）>0所限定的拋物線對稱軸不在區間［－1，1］內可舉出反例，就能說明楊飛的解法確實是錯誤的. 如將函數改為f（x）=x2－ax++8． 按照楊飛的方法，由f>0，且f（1）>0，f（－1）>0，解得1－　　由f（1）>0且f（－1）>fSKgwP/wNlGUc3rtC/Gtkw==0，得－6　　當－60，所以f（x）>0在x∈［－1，1］時恒成立；
　　當2≤a<18，即1≤<9時，又f（1）>0，所以f（x）>0在x∈［－1，1］時恒成立；
　　當－20，得1－0在x∈［－1，1］時恒成立；
　　?搖綜上可知，當－60在x∈［－1，1］時恒成立．
　　?搖這個問題中a的取值范圍又是由f（1）>0，且f（－1）>0得到，能不能把它作為“簡單解答”？顯然也不能．
　　思考
　　對待數學解題中的差錯可以包容些，但我們應指出來． 華羅庚先生曾通俗地說“數學工作者，從來沒有不算錯題的，…，錯誤是難免要發生的，但不能因此降低要求，既然出現了錯誤，就應該引以為教訓．” 楊飛一文的 “糾正為錯”，其“簡單解答”能被n次“認可”，一個十分重要的原因是其“結論正確”． 有人認為楊飛一文的質量太低，不值得反駁，但鑒于該文被反復轉載，筆者認為有必要提醒. 當前，各方都強調重教育要從“重結果輕過程”中走出來，我們能否從小事做起，從解一個具體的數學習題這個“渺小”的事做起？就數學教學而言，數學教學過程中“謹防結論正確的差錯”要貫穿于課堂教學、作業批改、閱卷等全過程． 這既是數學理解的需要，同時教師也必須認識到，如果處理不當，它會強化學生所犯的錯誤． 教師應該在平實中反思，不斷積累經驗和教訓，踏實落實新課程的教學理念．