“引\\思\\探\\練”模式在定積分教學中的嘗試

　　摘要：本文介紹了在新課程理念下，對高等數學《定積分應用》教學進行的探究. 注重“引、思、探、練”相結合的研究性教學方法，引導學生轉變學習方式，主動參與、自主探究進行學習的教學嘗試.
　　關鍵詞：定積分；教學設計；高等數學
　　
　　《定積分的應用》教學設計在2009年山東省數學中心組舉辦的中青年教師教學設計中獲一等獎，并于2010年執教省級觀摩課.筆者對這節課的設計重新整理并加以反思形成本文. 教學課題來自山東大學出版社出版的《高等數學》（上）第五章中的定積分應用.
　　
　　教材分析
　　1. 教材地位和作用
　　定積分是微積分學的重要內容， 微元法或元素法是定積分應用中的一個基本的也是非常重要的方法，同時也是科學計算和解決現實問題的重要工具，有著非常廣泛的應用.
　　2. 教材知識結構和內容分析
　　本章首先通過定積分的幾何意義，分析并說明了定積分的元素法，再運用定積分的元素法進一步分析和解決一些幾何、物理中的問題.如曲邊梯形面積、特殊的立體體積等幾何量和變力做功、液體側壓力等物理量的計算問題.
　　本節介紹了微元法求圖形面積問題，它是對定積分知識的總結和升華，通過求面積，讓學生初步感受定積分在解決數學問題與實際問題中的作用，同時也是學生熟練定積分的計算、進一步學習的基礎.
　　3. 教學目標
　　知識技能目標：應用定積分解決平面圖形的面積，進一步理解微積分思想，初步掌握定積分解決實際問題的基本思想和方法，培養學生的邏輯思維能力.
　　過程和方法目標：通過探究活動，通過數形結合的思想，讓學生在實踐中探索問題、發現問題、解決問題，從而達到培養學生的觀察、歸納、應用和創新等能力的目的.
　　情感目標：使學生在解決問題的過程中體會定積分的價值；培養學生對學習的濃厚興趣；培養學生勇于探索和實踐的精神.
　　4. 教學重、難點
　　教學重點：應用定積分解決平面圖形的面積，使學生在解決問題的過程中體會定積分的價值.
　　教學難點：恰當選擇積分變量和確定被積函數.
　　
　　學情分析
　　
　　
　　教學方法
　　根據內容的特殊性和學生的實際水平，在教學過程中注重“引、思、探、練”相結合的研究性教學方法，在教師的啟發指導下， 引導學生轉變學習方式，主動參與、積極體驗、自主探究地學習.學生經歷了分析、探索、領悟、得出結論的過程，既獲得知識，又發展智能.
　　接受學習與發現學習相結合，讓學生在深刻理解定積分元素法本質的基礎上，積極溝通知識間的內在聯系，采用自主研究、分組討論等多種靈活的方式，對問題進行觀察、比較、分析、綜合、獨立地發現和解決，從中培養學生發現問題、分析和解決問題的能力.
　　
　　教學流程
　　引入部分
　　定積分是數學中最具美學意義的內容之一，在這里，數學的辯證法得到了最好的體現，數學的一些基本思想，比如“化整為零”“積零為整”“以不變代變”“以直代曲”“以近似求精確”“以有限逼近無限”等得到了最好的應用. 在學習中，我們將能體會到數學并不僅僅是用抽象的公式、法則和定理建造起來的空中樓閣. 定積分的產生有著豐富的實際背景，其概念直接起源于實踐中需要解決的某些實際問題，其中最典型的例子就是計算平面上曲邊梯形的面積，下面我們來研究這個問題.
　　引言部分簡潔介紹了定積分的思想精髓，滲透了數學學科中的辯證法思想，讓學生領悟數學的精髓，有利于數學素養和數學興趣的提高. 這樣的引言容易激發學生的求知欲和探索欲，為后面作開啟性的鋪墊.
　　1. 復習舊知，承上啟下
　　問題1：計算由區間［a，b］上的連續曲線y=f（x），以及直線x=a，x=b（a　　
　　由熟悉的幾何意義入手，結合性質和圖象特征輕松得出所圍的曲邊梯形面積：
　　①當f（x）≥0時，如圖1所示，A=f（x）dx；
　　②當f（x）≤0時，如圖2所示，A=－f（x）dx；
　　③當f（xwmjqHt6I7XaoVYiuknJqFg==）在［a，b］上有時取正值，有時取負值時，如圖3所示，A=f（x）dx－f（x）dx+f（x）dx.
　　綜上所述，面積公式為A=f（x）dx，關鍵是搞清在哪些區域f（x）≥0，哪些區域f（x）≤0．
　　問題2：求正弦曲線y=sinx，x∈0，和直線x=及x軸所圍成圖形的面積.
　　設計意圖：復習環節的設計具有承上啟下的作用，從曲邊梯形的面積入手，不僅激發了學生探究問題的興趣，而且自然地與舊知識進行聯系，引導學生把新知識納入原有認知結構當中，保證了知識的系統性，也對學生的學法進行了潛移默化的指導.
　　由前面的知識，學生很容易完成問題2，教師板書過程，示范書寫步驟. 通過練習，鞏固了所學知識，為進一步學習由兩曲線所圍成圖形的面積打下基礎，同時使學生發現數學能夠解決實際問題，從而培養學生樂于嘗試、敢于創新的精神.
　　2. 層層探究，形成規律
　　屏幕先后出示以下組圖，讓學生自己提出問題，教師把系列問題歸類作為進一步探究的任務，并安排學生分組進行探究.
　　問題：求由連續曲線y=f（x），y=g（x）與直線x=a，x=b所圍成的平面圖形的面積． （出示圖形，讓學生自主探究以上圖形的陰影部分的面積.）
　　
　　圖4
　　探究一：在［a，b］上，有f（x）>g（x），A=［f（x）－g（x）］dx.?搖
　　探究二：在［a，c］上，有f（x）>g（x）：在［c，d］上，f（x）　　A=［f（x）－g（x）］dx－［g（x）－f（x）］dx.
　　綜上所述，兩曲線y=f（x），y=g（x）與直線x=a，x=b（a　　
　　探究三：求由曲線x=φ（y）與直線y=c，y=d，x=0所圍成的平面圖形的面積．
　　當φ（y）≥0時，如圖5所示，A=φ（y）dy.
　　探究四：由曲線x=ψ（y），x=φ（y）與直線y=c，y=d所圍成的平面圖形的面積．
　　當φ（y）≥ψ（y）時，如圖6所示，A=［φ（y）－ψ（y）］dy.
　　設計意圖：學生自主探究和分組討論相結合，由簡單的一條曲線與坐標軸圍成的面積問題逐漸延伸到復雜的兩條曲線圍成的面積問題，適時指出X型和Y型兩種情況，探究由易到難，具有層次性. 分組討論后各自展示研討成果，可以增強學生競爭意識，增強其學習數學的信心.
　　3. 強化訓練，總結升華
　　例1求由曲線y2=x，y=x2所圍成圖形的面積.
　　解法一：選擇橫坐標x為積分變量，所求面積為A=（－x2）dx=.
　　解法二：選擇縱坐標y為積分變量，y∈［0，1］，對應于［y，y+dy］上的小矩形面積為（－y2）dy面積元素dA=（－y2）dy，于是A=（－y2）dy=.
　　設計意圖：解法一由學生獨立完成，然后教師在X型的基礎上指導學生通過思考，自己類比推出Y型. 在這個過程中能夠使學生加深對X型的認識和理解，并通過自己的邏輯推理得出Y型的結論. 學生自己摸索出的答案得到認可，增強了學習數學的信心，而且對所學知識理解更深刻、記憶更牢固.
　　通過例題學習，總結出解題的步驟要點：X型上減下，Y型右減左. 步驟共四步：作圖定型——求點定限——確定函數——列式求解. 這樣的總結有利于提高解題能力和認識，并為今后再學習打下基礎.
　　例2求拋物線y2=2x和直線y=－x+4所圍成的圖形的面積.
　　解析先求拋物線和直線的交點，解方程組y2=2x，y=－x+4，交點（2，2）和（8，－4）；
　　解法一，選x為積分變量，變化區間為［0，8］，面積為
　　A=2dx+（－x+4）dx=18.
　　解法二，選y作積分變量，則y的變化區間為［-4，2］，所求的面積為A=4－y－dy=18.?搖?搖
　　設計意圖：強化訓練，鞏固所學.這是一個既可以用X型解又可以用Y型方法解的題目，學生通過自己的觀察可以發現用Y型方法來解該題過程簡潔，用X型方法來解計算量大，從而自己在“X型與Y型如何選擇”這個問題上就有所思考.
　　探究五：如何選擇X型與Y型？
　　
　　圖7
　　分組討論，選擇以上圖形最優化的積分變量.師生探究，適當選擇積分變量，應綜合考查下列因素：①較少的分割區域； ②被積函數的原函數易求； ③積分上、下限比較簡單. 這樣的設計有效地解決本節的教學難點.
　　4. 鞏固遷移，應用提升
　　拓展題：一橋拱的形狀為拋物線，已知該拋物線拱的高為常數h，寬為常數b． 求證：拋物線拱的面積S=bh.
　　問題來源于實際生活，通過這道拓展題，把這節課的探究活動推向高潮. 師生探究解題方法：第一步，建立平面直角坐標系，確定拋物線方程；第二步，求由曲線圍成的平面圖形面積. 通過該題的練習，可以使學生認識到實際問題數學化的優勢，實現了生活中的實際問題與抽象數學的完美結合，能培養學生運用已知知識解決未知問題的創造力和自信心，培養學生精益求精的科學態度，培養學生將實際問題轉化為數學模型的應用能力.
　　5. 互動小結
　　出示系列問題進行學后反思：本節課我們做了哪些探究活動？如何用定積分解決曲邊形面積問題？求曲線所圍的平面圖形面積時須注意什么問題？如何選擇最優化的積分變量？體會到什么樣的數學研究思路及方法？
　　提問式的課堂小結，目的在于調動學生積極參與梳理知識的過程，培養學生在探究之后整合知識的能力，有利于數學元認知能力的培養.
　　
　　設計理念
　　本節課通過感受定積分微元法的精髓、復習舊知、發現問題、分層探究、抽象歸納、鞏固練習、應用提升等探究性活動，本著“問題讓學生自己去發現、規律讓學生自己去探索、問題讓學生自己去解決”的原則，在教學過程中注重“引、思、探、練”相結合的研究性教學方法，引導學生轉變學習方式，主動參與、積極體驗、自主探究地學習，這樣的教學有利于培養學生運用已有知識解決未知問題的創造力和自信心，培養學生精益求精的科學態度以及將實際問題轉化為數學模型的應用能力.