新課標背景下的《1.4.1 正弦函數\\余弦函數的圖象》教學設計案例

　　摘要：本堂課從實驗演示入手，形成圖象的直觀感知后，通過問題驅動教學，帶領學生探索正弦曲線、余弦曲線的準確作法，形成理性認識，并對方法進行歸納總結，體現了新課標“以學生為主體，教師為主導”的課堂教學理念. 探究過程做到師生互動、生生互動，培養了學生積極主動、勇于探索的學習方式.
　　關鍵詞：探究；正弦函數、余弦函數圖象；作法
　　
　　教學內容分析
　　本節教材選自人教A版高中《數學》必修④第一章第四節，其主要內容是正弦函數、余弦函數的圖象. 本節課是在學生已經掌握了任意三角函數的定義、三角函數線、三角函數的誘導公式等知識基礎上進行學習的，它不僅是對前面所學知識應用的考查，也是后續學習正弦函數、余弦函數的性質的基礎，對函數圖象清晰而準確的掌握為學生在解題實踐中提供了有力的工具. 因此，本節課的學習有著極其重要的意義與地位，它對知識的掌握起到了承上啟下的作用.
　　
　　學生學習情況分析
　　所教學生的數學成績在年段中屬中上水平，學生學習數學興致較高. 他們已經掌握了一次函數、二次函數、指數函數和對數函數等基礎函數的圖象和性質，并了解一些函數圖象的畫法，已具有較強的分析、判斷、理解能力和一定層次上的合作交流能力.
　　
　　設計思想
　　本節課的設計遵循從局部到整體、從特殊到一般的原則，適當運用多媒體輔助教學手段，用觀察、啟發、探究相結合的方法組織教學. 從演示 “簡諧運動”實驗入手，形成直觀的正弦曲線、余弦曲線印象，然后通過設置一系列具有挑戰性的問題引領學生探究正弦函數、余弦函數的圖象，再用例題、練習鞏固五點法及應用，最后師生小結提升. 這樣設計比較自然、合理，符合認知規律，能夠激發學生學習的興趣，讓學生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中，掌握正弦函數、余弦函數的圖象作法，領會數形結合、類比、變換等數學思想，養成積極主動、勇于探索、自主學習的學習方式.
　　
　　教學目標
　　1. 知識與技能：使學生理解作正弦函數和余弦函數圖象的方法，掌握用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖.
　　2. 過程與方法：通過組織引導學生參與“用正弦線作正弦函數圖象”，培養學生探究能力及數學應用能力，提高學生分析、類比、抽象、概括等思維能力.
　　3. 情感、態度與價值觀：讓學生體會數學中的圖形美，體驗善于動手操作、合作探究的學習方法帶來的成功愉悅，滲透由抽象到具體的思想，加深對數形結合思想的認識，理解動與靜的辯證關系，樹立科學的辯證唯物主義觀.
　　
　　教學重點、難點
　　重點：正弦函數、余弦函數的圖象.
　　難點：（1）將單位圓中的正弦線通過平移轉化為正弦函數圖象上的點；
　　（2）正弦函數與余弦函數圖象間的關系.
　　
　　教學過程
　　1. 創設情景，導入新課
　　“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休……”，這是我國著名數學家華羅庚教授寫過的一首詩，詩中充分肯定了數形結合這一重要的數學思想方法. 前面我們主要從“數”的角度研究了三角函數的一些問題，這節課我們將從“形”上研究兩個三角函數.
　　（1）在弧度制下，實數集與角的集合之間可以建立一一對應關系，而一個確定的角又對應著唯一確定的正弦（或余弦）值，這樣，任意給定一個實數，有唯一確定的值sinx（或cosx）與之對應，由這個對應法則所確定的函數y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函數（或余弦函數），其定義域為R.
　　（2）遇到一個新的函數非常自然地是畫出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有什么特點，并借助圖象研究它的性質. 這節課我們來研究正弦函數、余弦函數的圖象（出示課題）. 大家都想知道它們的圖象是怎樣的，讓我們一起來看實驗吧！
　　（3）教師演示單擺實驗和彈簧振子實驗，使學生對正弦函數、余弦函數的圖象有一個直觀的印象.
　　設計意圖：一上課，教師通過聲情并茂地朗誦華羅庚教授寫的一首詩吸引了學生的注意力，演示 “簡諧運動”實驗，使學生對正弦函數、余弦函數的圖象有一個直觀的印象，從而借此實驗激發學生聽課的積極性和興趣.
　　2. 合作交流，探究新知
　　探究一：?搖正弦函數的圖象
　　問題1作正弦函數圖象得到的各點的縱坐標都是查三角函數表得到的數值，由于一般角的三角函數值都是近似值，不易描出點的精確位置. 能否利用正弦線作出比較精確的函數y=sinx（其中x∈［0，2π］）的圖象？
　　議一議：我們先來作一個點C，sin，在單位圓⊙O1中作∠PO1O=，畫出它的正弦線MP，把角的正弦線向右平移，使M點與x軸上表示的點M1重合，得到線段M1C，顯然點C和點P的縱坐標相同，都等于sin. 因此，點C的坐標為，sin.
　　 提問：能否借助上面作點C，sin的方法作出正弦函數y＝sinx（其中x∈［0，2π］）的圖象呢？
　　讓學生分組討論后，教師再講解正弦函數的幾何作圖法（用flash動畫演示）.
　　我們利用上面作點C的方法先在直角坐標系中作出正弦函數y=sinx（其中x∈［0，2π］）的圖象，具體分為如下五個步驟：
　　（1）?搖作直角坐標系，并在直角坐標系y軸的左側畫單位圓.
　　（2）?搖把單位圓分成12等份，過單位圓上的各分點作x軸的垂線，得到對應于0，，，，…，2π等角的正弦線.
　　（3）?搖找橫坐標：把x軸上從0到2π（2π≈6.28）這一段分成12等份.
　　（4）?搖找縱坐標：把角x的正弦線向右平移，使它的起點與x軸上的點x重合.
　　（5）?搖連線：用光滑的曲線把這些正弦線的終點連結起來，即得函數y=sinx（其中x∈［0，2π］）的圖象.
　　設計意圖：這是本節課的難點，教師通過從特殊到一般的小步前進方法化解難點，并輔以“正弦函數的幾何作圖法”教學課件的演示，生動形象地引導學生認真觀察，指導學生進行分組討論交流，促進學生知識體系的建構和數學思想方法的形成，培養學生勇于探索、勤于思考的精神，提高學生合作學習和數學交流能力.
　　問題2如何作出y=sinx（x∈R）的圖象？
　　因為終邊相同的角有相同的三角函數值，所以函數y=sinx（x∈［2kπ，2（k+1）π），k∈Z且k≠0）的圖象與函數y=sinx（x∈［0，2π））的圖象的形狀完全一致. 于是我們只要將函數y=sinx（x∈［0，2π））的圖象向左、向右平行移動（每次2π個單位長度），就可以得到正弦函數y=sinx（x∈R）的圖象，正弦函數y=sinx（x∈R）的圖象叫做正弦曲線.
　　設計意圖：這一過程用課件處理，讓學生仔細觀察整個圖的形成過程，感知周期性.
　　
　　圖2
　　問題3利用單位圓用幾何法作出的圖象比較精確，但比較煩瑣，能否用描點法作出正弦曲線呢？
　　思考討論：觀察函數y=sinx（x∈［0，2π］）的圖象，它是一條光滑的“波浪線”，其中起關鍵作用的是以下五個點：最高點，1，最低點，－1，與x軸的交點（0，0），（π，0），（2π，0）.
　　事實上，描出這五個點后，函數y=sinx（x∈［0，2π］）的圖象形狀就基本上確定了. 因此，在精確度要求不高時，我們可先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連結起來，就得到函數的簡圖，這種作圖的方法稱為“五點法”作圖. 以后我們畫三角函數圖象時一般都采用這種方法.
　　“五點法”作圖的一般步驟是：（1）列表；（2）描點；（3）連線.
　　
　　（1）列表
　　
　　（2）描點
　　（3）連線（注意曲線的凹凸性，從左往右分別為凸升、凸降、凹降、凹升）
　　設計意圖：教師把“五點法”作圖過程在黑板上進行詳細板演，并讓學生動手作圖，感知正弦函數的圖象.
　　探究二：余弦函數的圖象
　　問題1怎樣作出y=cosx（x∈R）的圖象？
　　議一議：（1）先利用余弦線作出y=cosx（x∈［0，2π］）上的圖象，再向左、向右平移（每次2π個單位長度）得到.
　　（2）由誘導公式，我們有y=cosx=sin+x，而函數y=sin+x（其中x∈R）的圖象可以通過y=sinx（x∈R）的圖象向左平移個單位長度得到. 因此，余弦函數的圖象可以通過正弦曲線向左平移個單位長度得到. 余弦函數的圖象叫做余弦曲線.
　　
　　圖3
　　問題2怎樣用“五點法”作余弦曲線？
　　探究：與正弦曲線類似，y=cosx（其中x∈［2kπ，2kπ+2π］，k∈Z）的圖象與y=cosx（x∈［0，2π］）的圖象完全一樣，只要作出y=cosx（x∈［0，2π］）的圖象，再向左、向右平移（每次2π個單位長度）便可得到余弦曲線.
　　觀察y=cosx（x∈［0，2π］）的圖象可知，起關鍵作用的五個點應是（0，1），，0，（π，－1），，0，（2π，1）. 同樣，在精確度要求不高時，我們可先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連結起來，就得到余弦函數的簡圖，這種作圖的方法稱為“五點法”作圖. 注意曲線的凹凸性，從左往右分別為凸降、凹降、凹升、凸升.
　　設計意圖：讓學生在學習了正弦函數圖象畫法的基礎上，通過探究，自己類比得出余弦函數的圖象的畫法. 用課件演示正弦曲線平移為余弦曲線的過程，使學生更好地掌握正弦函數與余弦函數圖象間的關系. 教師板演“五點法”作圖過程，并讓學生動手作圖，可讓學生更好地感知余弦函數的圖象.
　　3. 典例分析，深化知識
　　例1畫出下列函數的簡圖
　　（1）y=1+sinx（x∈［0，2π］）（教師提問，學生回答，師生共同完成，教師在黑板上示范）
　　（2）y=－cosx（x∈［0，2π］）（請一名學習成績中等的學生板演，其余學生自己練習）
　　（1）解：（五點法）作圖步驟：列表、描點、連線.
　　強調注意點：①x軸、y軸、箭頭不可少；②用光滑曲線連結（注意凹凸性）；③標上函數及定義域.
　　思考：你能否從函數圖象變換的角度出發，利用函數y=sinx（x∈［0，2π］）的圖象平移得到y=1+sinx（x∈［0，2π］）的圖象？
　　答：先作出函數y=sinx（x∈［0，2π］）的圖象，再把所得圖象向上平移1個單位長度，從而得到y=1+sinx（x∈［0，2π］）的圖象.
　　小結：作函數簡圖常用“五點法”和“變換法”. 要得到y=sinx+k的圖象只需將y=sinx的圖象向上（k>0）或向下（k<0）平移k個單位長度.
　　（2）請其他學生指出板演中存在的問題并加以糾正（特別是曲線的凹凸性容易畫錯）. 接著請學生思考這題如何用變換法作圖.
　　設計意圖：對例1的第一小題教師在黑板上示范，并加以小結；例1的第二小題讓學生上臺板演，充分暴露錯誤，由其他學生幫其糾錯，使學生更好地掌握“五點法”. 通過此例使學生明白作函數簡圖常用“五點法”和“變換法”.
　　4. 鞏固練習，提高能力
　　畫出下列函數的簡圖：
　　（1）y=－sinx，x∈［0，2π］；
　　（2）y=1+cosx，x∈［0，2π］.
　　學生演練完畢后可采用實物投影儀將學生畫的圖象進行展示，當場修改其中的錯誤.
　　設計意圖：教師把學生的作業用實物投影儀展示，使學生通過當堂練習反饋，更好地掌握本節課知識.
　　5. 歸納小結，知識升華
　　先由學生反思學習內容并回答，教師再作補充完善.
　　（1）正弦、余弦函數在［0，2π］上圖象的作法有幾何法和五點法，其中“五點法”最常用，要牢記五個關鍵點.
　　（2）正弦函數和余弦函數圖象間的關系. y=cosx（x∈R）的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象向左平移個單位得到.
　　（3）本節課用到的數學思想有數形結合、類比和變換思想.
　　設計意圖：讓學生小結本節課主要知識，養成學習——總結——學習的良好學習習慣，發揮自我評價的作用，培養學生的歸納能力和語言表達能力.
　　6. 布置作業，鞏固提升
　　（1）（必做）閱讀作業： 閱讀課本P30—P33；
　　（2）（必做）書面作業：《數學作業本》P11—P13；
　　（3）（選做）研究性作業：思考y=1+sinx（x∈［0，2π］）的圖象通過怎樣的變換能得到函數y=1－sinx（x∈［0，2π］）的圖象.
　　設計意圖：布置分層次作業，體現了因材施教原則.
　　
　　教后反思
　　這堂課是筆者參加嵊州市學科帶頭人評比的一堂公開課，筆者根據教材和學生的情況，創造性地使用教材，創設有效的教學情景，構建有效的課堂教學活動，采用多媒體輔助教學手段，收到了較好的教學效果.做得較好之處具體如下：
　　1. 問題驅動教學，學生活動量大. 本節課從實驗演示入手，形成圖象的直觀感知后，通過設計一系列具有挑戰性的、開放性的問題，帶領學生探索正弦曲線、余弦曲線的準確作法，形成理性認識.問題設置層層深入，引導學生發現問題、解決問題，并對方法進行歸納總結，體現了新課標“以學生為主體，教師為主導”的課堂教學理念. 探究過程做到師生互動、生生互動，不斷深入，體現了“數學教學主要是數學活動教學”的教育思想，且符合新課程倡導的教學過程就是師生互動共同發展的過程，培養了學生積極主動、勇于探索的學習方式.
　　2. 恰當運用多媒體，讓學生感悟數學內涵. 本節課由于內容較多，用課件和實物投影儀一方面可提高課堂教學的容量，增加學生思考和作圖的時間；另一方面用flash動畫演示“正弦函數的幾何作圖法”和正弦曲線平移為余弦曲線的過程，生動形象，可化解難點，突出重點，加深學生印象，讓學生感悟數學的內涵，體驗數學的魅力.
　　3. 重視畫圖練習，提高教學實效. 本節課所畫的圖象較多，能迅速準確地畫出函數圖象對初學者來說是一個較高的要求，重在學生動手操作，不要怕學生出錯. 筆者在上課時，板演 “五點法”作圖過程后，就讓學生模仿作圖，并要求學生在開始時要慢些，首先要畫好直角坐標系，然后準確地找到每個點，最后注意曲線的凹凸性，用光滑的曲線連結. 只有通過多次練習，才能使學生熟練地畫出圖象.通過畫圖訓練可以培養學生的動手能力、模仿能力.
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