一道高考題結(jié)論的優(yōu)美變形及推廣

　　摘要：本文通過對2011年高考安徽卷理科第19題的深度研究，發(fā)現(xiàn)了該不等式的許多優(yōu)美的變形結(jié)論，從不同側(cè)面展示了不等式的優(yōu)美，并且由此獲得該不等式的推廣.
　　關(guān)鍵詞：不等式；變形；推廣
　　
　　2011年高考安徽卷理科第19題是一道條件不等式證明題：
　　（1）設x≥1，y≥1，證明：x+y+■≤■+■+xy；
　　（2）設1　　此題結(jié)論優(yōu)美對稱，其中（2）的結(jié)論是（1）的結(jié)論的變形應用． 筆者通過研究發(fā)現(xiàn)該題結(jié)論（1）還有許多優(yōu)美的變形結(jié)論. 如果令x=■，y=■，代入結(jié)論（1），則有
　　變形1 若a≥b≥c>0，則■+■+■≤■+■+■.
　　若令z=■，代入結(jié)論（1）又有如下變形：
　　變形2若x≥1，y≥1，xyz=1，則x+y+z≤■+■+■.
　　變形3若x≥1，y≥1，xyz=1，則x+y+z≤xy+yz+zx.
　　容易發(fā)現(xiàn)不論是結(jié)論（1），還是其變形都隱含著條件xyz=1． 那么，如果把數(shù)字1變?yōu)槠渌龜?shù)又如何呢？經(jīng)過探究后筆者發(fā)現(xiàn)，其實結(jié)論（1）可以推廣到如下一般性的結(jié)論：
　　推廣?搖 若x≥■≥1，y≥■≥1，則x+y+■≤■+■+xy. （﹡）
　　證明：x+y+■≤■+■+xy?圳xy（x+y）+λ2≤λ（x+y）+（xy）2，
　　上式右邊減去左邊，得［λ（x+y）+（xy）2］－［xy（x+y）+λ2］＝［（xy）2－λ2］－［xy（x+y）－λ（x+y）］
　　＝（xy－λ）［（xy+λ）－（x+y）］＝（xy－λ）［（x－1）（y－1）+（λ－1）］.
　　因為x≥■≥1，y≥■≥1，所以xy≥λ，λ≥1，x≥1，y≥1，即（xy－λ）［（x－1）（y－1）+（λ－1）］≥0，
　　從而結(jié)論成立．
　　而安徽省第19題高考題的結(jié)論（1）即為推廣結(jié)論中當λ=1時的特例．
　　對該推廣的（﹡）式作適當變形，又可得到幾個優(yōu)美推論：
　　若a≥b≥c>0，λ≥1，則■≥■≥1，■≥■≥1，令x=■，y=■并將其代入推廣結(jié)論（﹡），消去x，y化簡后有■+■+■≤■+■+■，由此得
　　推論1若a≥b≥c>0，λ≥1，則■+■+■≤■+■+■.
　　?搖另外，若x≥■≥1，y≥■≥1，xyz=λ2，則z=■，xy=■，代入推廣結(jié)論（*），不難得到推論2及推論3.
　　推論2若x≥■≥1，y≥■≥1，xyz=λ2，則x+y+z≤■+■+■.
　　推論3若x≥■≥1，y≥■≥1，xyz=λ2，則x+y+z≤xy+■+■.
　　?搖 特別地，在上面三個推論中，當λ=1時其實就是上面結(jié)論（1）的三個變形．