對一道數學填空題的研究性學習

　　摘要：隨著新課程標準的實施，高中數學教學不僅要注重基礎知識、基本技能、基本思想方法，而且要注意高等數學的一些思想對高中數學的指導作用. 本文以一道填空題為例，討論了運用高等數學中的勒貝格集合理論解決高中數學中的一個無限集的真子集與無限集本身“相等”的映射問題.
　　關鍵詞：數形結合；抽象函數；勒貝格集合理論
　　
　　隨著新課程標準的進一步實施，高中數學教學不但應突出數學的基礎知識、基本技能、基本思想方法，還應兼顧高等學校繼續學習所必備的基本能力，注意到高等數學對高中數學提出的思想指導.下面以一道數學填空題為例進行闡述.
　　題目 ?搖下圖1展示了一個由區間（0，1）到實數集R的映射過程：區間（0，1）中的實數m對應數軸上的點M，如圖1，將線段AB圍成一個圓，使兩端點A，B恰好重合. 如圖2，再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1）. 如圖3，圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n.
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　　則下列說法中正確命題的序號是________. （填出所有正確命題的序號）
　　①f■=0； ②f（x）是偶函數；?搖③f（x）在定義域上單調遞增；
　　④f（x）≥g（x）的圖象關于點■，0對稱．
　　分析：本題一方面通過形成過程給出一個數形結合的抽象函數題，題目冗長，不具體；另一方面建立從一維直線線段上點與二維平面上點的聯系，思維跳躍大，考慮信息多. 而題目涉及函數的零點、奇偶性、單調性、對稱性的多個方面問題，令人束手束腳，難于對付.
　　
　　■把握圖形的運動過程，直觀形象討論
　　如圖4，可知點A，N坐標分別為（0，1），（n，0）. 當m=■時，即M為線段AB的中點時，此時直線AM為y軸，過坐標原點O，這樣n=0，顯然按此函數定義有f■=0. ①正確.
　　又在圖4中，因為kAM=■，所以當M點從A向中點運動時，kAM逐漸增大且為正值，所以－n逐漸減小且為正值，即n逐漸增大且為負值.
　　同樣，當M點從中點向B點運動時，有kAM逐漸增大且為負值，所以－n逐漸減小且為負值，即n逐漸增大且為正值，這樣③正確.
　　在圖4中，記圓與y軸另一交點為D，則D為線段AB中點. 設M與M1關于D對稱，則M與M1關于y軸對稱，從而直線AM與AM1的斜率互為相反數，從而f（x）圖象關于點■，0對稱， ④正確；顯然，f（x）不是偶函數，②錯誤. 綜上，正確序號為①③④.
　　
　　■針對圖形的變化過程，求函數f（x）解析式
　　如圖5，設圓心為C，半徑為r，弧■的圓心角為α，由變化過程知2πr=1，即r=■，又l■=m=αr=■，α=2mπ.
　　當0　　類似地，當■　　這樣f（m）=0，m=■，－■，m∈0，■∪■，1，
　　即f（x）=0，x=■，－■，x∈0，■∪■，1.
　　現研究f（x）的性質，作f（x）的圖象如圖6所示，可得答案①③④.
　　
　　■將線段圍成一個等邊三角形變式思考是否仍有這樣的結果呢？
　　變題?搖 下圖展示了一個由區間（0，1）到實數集R的映射過程：區間（0，1）中的實數m對應數軸上的點M，如圖7，將線段AB圍成一個等邊三角形APQ，使兩端點A，B恰好重合. 如圖8，再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1）. 如圖9，直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作g（m）=n.
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　　則下列說法中正確命題的序號是________. （填出所有正確命題的序號）
　　①g■=0； ②g（x）是偶函數；?搖③g（x）在定義域上單調遞增；④g（x）的圖象關于點■，0對稱．
　　針對高中單調函數為嚴格單調函數的定義，仿上探究發現正確的序號為①④.
　　
　　■思考一個無限集的真子集與無限集本身“相等”呢？
　　?搖?搖我們知道，高中數學集合中有“非空有限集的真子集不會與其本身相等”的結論，那么對于無限集情況如何呢？在此處研究發現：在圖4中，直線AM與圓有一個交點，則相應地對應x軸上唯一的點N. 實際上，M與N之間建立了一一映射，也就是子區間（0，1）到實數集R上一一映射，從而肯定了一個無限集的真子集與無限集本身“相等”. 這正是高等數學中勒貝格集合理論核心.