含有絕對值函數的性質及其應用

　　摘要：本文主要探究了含有絕對值的函數的幾種重要形式向分段函數的轉化，并對絕對值函數的最值、值域、自變量取值范圍、參數取值范圍等問題進行了討論.
　　關鍵詞：絕對值函數；分段函數
　　
　　函數是高中階段數學的核心內容，貫穿于整個高中數學的教學過程.含有絕對值的函數是一類常見的函數類型，這類函數看起來是由一次函數、二次函數等基本函數組成的，但又與它們有很大差異，并且通常與函數的值域（最值）、不等式、方程等知識聯系在一起，綜合性比較強. 學生在處理這類問題時，往往由于考慮不嚴密而引起種種錯誤，如何解決這類問題呢？分段討論是基本的策略， 逐段處理，將問題轉化為基本函數后，再各個擊破，最后歸納總結.這一過程包含著分類、轉化、數形結合等多種數學思想的綜合運用.下面就其常見類型及解題策略舉例說明.
　　
　　■與一次函數有關的絕對值函數
　　1. 函數y=ax－k+h的性質及應用
　　函數y=|x|的圖象是由第一、二象限的角平分線構成的V字形（如圖1），而函數y=ax－k+h是由函數y=x的圖象經過平移翻折等圖形變換得到的，其中a的符號決定V字開口方向：當a>0時，V字開口向上；當a<0時，沿著x軸翻折后V字開口向下. a的大小決定V字開口大?。喝鬭=1，則張口角度為直角；若a>1，則張口角度為銳角；則a<1，則張口角度為鈍角. 把函數y=ax的圖象沿著x軸向左（k<0）或向右（k>0）平移k個單位，再沿著y軸向上（h>0）或向下（h<0）平移h個單位后得到y=ax－k+h的圖象，即頂點為（k，h）的V字形（如圖2）.
　　例1（07安徽）圖3中的圖象所表示的函數的解析式為（）
　　■
　　圖3
　　A. y=■x－1（0≤x≤2）
　　B. y=■－■x－1（0≤x≤2）
　　C． y=■－x－1（0≤x≤2）
　　D. y=1－x－1（0≤x≤2）
　　分析與解：由上述性質容易得到應選B.
　　例2 已知不等式x2<2－x－t有負數解，求t的取值范圍.
　　分析與解：原不等式等價于“－x2+2>x－t”， y=x－t表示頂點在x軸上的V字，如圖4. 從圖象上來看，要使該不等式有負數解，則在左半平面拋物線y=－x2+2上至少有一點在V字形的上方，所以當V字頂點在線段AB之間時，原不等式有負數解，對應t的取值范圍是－■，2.
　　■
　　圖4
　　2. 形如y=■aix－ki的函數
　　對于含有多個絕對值的形如y=■aix－ki的函數，一般是先根據n個分界點ki將函數分成n+1段，去掉絕對值符號寫出分段函數形式，然后根據一次函數的性質或由圖象（折線）解答問題.
　　例3?搖 （09重慶）設函數f（x）=x+3－ x－1，若不等式f（x）≤a2－3a對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為（）
　　A. （－∞，－1］∪［4，+∞）
　　B. （－∞，－2］∪［5，+∞）
　　C. ［1，2］
　　D. （－∞，1］∪［2，+∞）
　　解析：由圖象（圖5）可知，當x≥1時，函數fmax（x）=4. 所以有a2－3a≥4，解得a≤－1或a≥4. 故本題選A.
　　例4?搖 （08山東）設函數f（x）=x+1+ x－a的圖象關于直線x=1對稱，則a=_______.
　　解：因為分界點x=－1和x=a關于直線x=1對稱，所以a=3.
　　例5 （08寧夏）已知函數f（x）=2x－1－x－4.
　　（1）解不等式f（x）>2.
　?。?）求函數y=f（x）的最小值.
　　解：（1）原函數可化為
　　f（x）=－x－5，x≤－■，?搖3x－3，－■2的解集是（－∞，－7）∪■，+∞.?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖
　　（2）由函數y=f（x）的圖象可知，當x=－■時，函數取得最小值－■.
　　
　　■與二次函數有關的含有絕對值的函數
　　1. 形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函數
　　函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是由函數y=ax2+bx+c位于x軸下方的圖象沿x軸向上翻折后與其上方的部分組成.
　　例6設a>0，a≠1，函數f（x）=logaax2－x在［3，4］上是增函數，求實數a的取值范圍.
　　■
　　圖6
　　解：令g（x）=ax2－x（如圖6）. 若a>1，由［3，4］?哿■，+∞，則g（x）在［3，4］上是增函數，所以f（x）在［3，4］上是增函數. 若a<1，欲使f（x）在［3，4］是增函數，需使g（x）在［3，4］上應為減函數，則［3，4］?哿■，■，所以3≥■，4<■，即■≤a<■. 故a的取值范圍是a>1或■≤a<■.
　　例7（08浙江）已知t為常數，函數y=x2－2x－t在區間［0，2］上的最大值為2，求t.
　　解：因為函數y=x2－2x－t在［0，2］上只有在x=0，1，2處才有可能取得最大值. 若在x=0或2處取得最大值2， 解得t=±2，其中t=2不合題意，舍去；若在x=1處取得最大值2，解得t=1或－3，其中t=－3不合題意，舍去. 所以t=－2或1.
　　2. 形如y=f（x）+a（x+b1）x+b2（a≠0，f（x）至多為二次函數）
　　先由分界點－b2去掉絕對值符號，把函數寫成分段形式后逐段討論，最后再歸納總結.
　　例8 （09江蘇）設a為實數，函數f（x）=2x2+（x－a）x－a.
　?。?）若f（0）≥1，求a的取值范圍;
　　（2）求f（x）的最小值；
　?。?）設函數h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接寫出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集.
　　解：（1）若f（0）≥1，則－aa≥1?圯a<0，a2≥1，?圯a≤－1.
　?。?）當x≥a時，f（x）=3x2－2ax+a2，fmin（x）=f（a），a≥0，f■，a<0，
　　即fmin（x）=2a2，a≥0，■a2，a<0.
　　當x≤a時，f（x）=x2+2ax－a2，fmin（x）=f（－a），a≥0，f（a），a<0， 即fmin（x）=－2a2，a≥0，2a2，a<0.
　　綜上得fmin（x）=－2a2，a≥0，■a2，a<0.
　　（3）當x∈（a，+∞）時，由h（x）≥1得3x2－2ax+a2－1≥0，Δ=4a2－12（a2－1）=12－8a2.
　?、佼攁≤－■或a≥■時， Δ≤0. 此時不等式的解集為（a，+∞）；
　　②當－■0，所以有
　　x－■x－■≥0，x>a，
　　當a∈■，■時，原不等式的解集為（a，+∞）；
　　當a∈－■，■時， 原不等式的解集為■，+∞；
　　當a∈－■，－■時， 原不等式的解集為a，■∪■，+∞.
　　本題第（2）問也可以分a≥0和a<0兩種情況分別畫出函數的草圖：在分界點x=a處由兩支拋物線拼接而成. 再根據草圖求出函數的最小值表達式.
　　
　　■與其他基本函數有關的絕對值函數
　　與指數、對數及三角函數有關的絕對值函數，一般利用數形結合的思想，通過圖形解決問題.
　　例9 （08江西）函數y=tanx+sinx－tanx－sinx在區間■，■內的圖象是
　?。ǎ?
　　■
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　　解：因為函數y=tanx+sinx－tanx－sinx=2tanx（tanx≤sinx），2sinx（tanx>sinx），所以本題應選D.
　　例10若函數f（x）=log3x，若f（x）>f（3.5），則x的取值范圍是___________.
　　解：畫出函數f（x）=log■x的圖象，由圖象可知x的取值范圍是0■.