對等差、等比數列的一條統一性質的再探究

　　摘要：在研讀《數學通訊》上的《等差、等比數列的一條統一性質》后，根據教學過程中等差數列和等比數列的性質的規律，發現這個性質可以進行再次探討，本文對此進行研究，整理得到5個結論.
　　關鍵詞：等差數列；等比數列；性質
　　
　　《數學通訊》上的《等差、等比數列的一條統一性質》一文中有如下結論：
　　定理 若正項等差數列或等比數列的前n項和為Sn，則當m+n=2p（m，n，p∈N*）時，SmSn≤S■.
　　筆者在研讀時發現這條性質與等差、等比數列的等差、等比中項性質有一些類似，教材中，等差數列、等比數列有一個m+n=s+t的性質，筆者對此進行了進一步的研究，發現了一般性結論，現敘述如下：
　　結論1 ?搖在正項等差數列或等比數列｛an｝中，當m+n=s+t，m　　證明：設等差數列的通項公式為an=a1+（n-1）d（a1>0，d為公差，且d≥0）. 因為m+n=s+t，m　　綜上所述，anam≤asat.
　　結論2?搖 正項等差數列或等比數列｛an｝中，當m+n=s+t，m　　證明：設等比數列的通項公式為an=a1qn-1（q>0，a1>0）. 因為m+n=s+t，m1時，amf（as），即an+am>as+at. 同理可證，當0as+at. 當q=1時，an+am=as+at.
　　由等差數列性質知，an+am=as+at.
　　綜上所述，an+an≥as+at.
　　結論3 若正項等差數列或等比數列的前n項和為Sn，則當m+n=s+t，m　　證明：（1）當數列｛an｝為正項等差數列時，SmSn=■·■=■，
　　SsSt=■.
　　由結論1知anam≤asat.，又mn　　（2）當數列｛an｝為正項等比數列時，設公比為q>0且q≠1，a1>0，
　　SmSn=■·■=■，
　　SsSt=■·■=■.
　　由結論2知－a1q（am+an）≤－a1q（as+at），又anam=asat，故SmSn≤SsSt.
　　當公比q=1時，SmSn=mna■≤sta■=SsSt.
　　綜上所述，SmSn≤SsSt.
　　結論4若正項等差數列或等比數列（公比大于等于1）的前n項和為Sn，則當m+n=s+t，m　　證明：（1） 當數列｛an｝為正項等差數列時，Sm+Sn=ma1+■d+na1+■·d=（m+n）a1+■d，Ss+St=（s+t）a1+■d. 由結論1，2知m2+n2=（m+n）2－2mn≥（m+n）2－2st=（s+t）2－2st=s2+t2，故Sm+Sn≥St+St. （2）當數列為正項等比數列時，設公比為q>1，a1>0. Sm+Sn=■+■=■，Ss+St=■+■=■. 由結論2知，－q（am+an）≤－q（as+at），1－q<0， 故Sm+Sn≥Ss+St. 當公比q=1時，Sm+Sn=（m+n）a1=（s+t）a1=Ss+St. 綜上所述，Sm+Sn≥Ss+St.
　　結論5若正項等比數列（公比為正數且小于等于1）的前n項和為Sn，則當m+n=s+t，m　　簡證：當數列為正項等比數列時，設公比為q<1，a1>0. 由結論4的（2）證明知，－q（am+an）≤－q（as+at），1－q>0，故Sm+Sn≤Ss+St. 當公比q=1時，Sm+Sn=（m+n）a1=（s+t）a1=Ss+St.
　　綜上所述，Sm+Sn≤Ss+St.