數學解題教學中的“起死回生”

　　摘要：一些典型的數學問題往往有一套較為固定的解題模式，但是學生也許會由于沒有沿著這個固定模式進行解題而陷入困境，本文就此舉例來闡述教師應該幫助學生“起死回生”.
　　關鍵詞：典型問題；解題模式；轉化
　　
　　在數學解題教學中，對于一些“經典型”問題，教師往往已經熟悉于一些固定的解題模式，而學生們卻沒有這些束縛，因此對于一些問題可能會用一些“不太合適”的方法. 對于這些方法，教師可能會一口否定，事實上，這些貌似“不太合適”的方法并非都是死路一條，認真處理起來也可能會柳暗花明.
　　例1求函數y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.
　　面對該問題，很多學生將原式做如下處理：
　　y=sinx+cosx+sinxcosx?搖=■sinx+■+■sin2x
　　整理到此處，接著卻不知道該如何處理，教師往往說不應該這樣去做，而應該令t=sinx+cosx，將原函數轉化為一個二次函數來處理.當然，利用換元法可以很輕松解決該問題，事實上，學生的思考方向真是一條死路嗎？我們接著向下化簡.
　　■sinx+■+■sin2x=■·sinx+■－■cos2x+■=■sinx+■－■1－2sin2x+■=sin2x+■+■sinx+■－■=sinx+■+■2－1，
　　由于－1≤sinx+■≤1，因此原函數的值域為－1，■+■.
　　例2求函數y=x+■（x≥2）的最小值.
　　初學不等式的學生往往直接運用基本不等式，結果由于忽視等號成立的條件而出現錯誤，于是他們往往被告知類似的問題應該運用y=x+■在［2，+∞）上的單調性來解決.
　　事實上，運用基本不等式也未必是一條死路.
　　y=x+■=■+■+■≥2■+■x≥■，
　　此時在x=2時取到最小值.
　　例3已知數列｛ａn｝中，a1=－1，an=2an-1+n（n≥2），求an的通項公式.
　　該題比較常見的解法是將遞推式的兩邊同除以2n，得：
　　■=■+■.
　　再利用累加法和錯位相消法可求得an的通項公式. 但有學生在解答該問題時類比求解“an=2an-1+3”的通項中所用的兩邊加常數方法，在遞推式an=2an-1+n的兩邊加上若干個n，來構造等比數列an+xn=2［an-1+x（n－1）］，但是卻找不出這個合適的x，這又貌似死路一條. 事實上，在上述方法中之所以找不到合適的x，原因還在于右邊括號內出現了一個常數，而左邊沒有，顯然不通.因此可作如下處理:
　　設an+xn+k=2（an-1+x（n－1）+k），
　　即an=2an-1+xn+k－2x，
　　比照原式，有?搖n=xn+k－2x，
　　所以x=1，k=2.
　　因此an+n+2=2［an-1+（n－1）+2］，
　　所以｛an+n+2｝是以2為首項，以2為公比的等比數列.
　　因此an+n+2=2n，即an=2n－n－2.
　　在數學解題教學中，對于一些典型題，教師要將它的較為常見的解法傳授給學生. 但遇到學生“不按套路出牌”，教師也不能輕易就將學生的想法給否定了，也許這也是一條光明大道，這就要求教師有“起死回生”的本領.