小議長方體模型在立體幾何中的應用

　　摘要：長方體是特殊的六面體，本文講述了通過合理、恰當地構造出長方體模型，利用其中的面對角線和體對角線，化繁為簡、化難為易，巧妙地解決問題.
　　關鍵詞：長方體；表面積；距離
　　
　　長方體是特殊的六面體，是立體幾何中的基本幾何體，其結構對稱，各元素之間具有相等、平行、垂直等關系，內涵豐富，是研究線面關系、線線關系、特殊幾何體的一個重要載體.在處理某些立體幾何問題時，若能根據題意合理恰當地構造出長方體模型，則可化繁為簡、化難為易，巧妙地將題目解出，收到事半功倍的效果，下面舉例說明.
　　案例1：長方體ABCD－A1B1C1D1一個頂點上三條棱的長分別是3，4，5，且它的八個頂點都在同一個球面上，求這個球的表面積.
　　
　　分析：畫出圖形，根據球的表面積公式S=4πR2（R為球的半徑）可知，只需求出球的半徑即可.又長方體的體對角線長等于其外接球的直徑，所以2R=■=5■，從而S=50π.
　　評注：本題解題的關鍵在于抓住長方體的體對角線長等于其外接球的直徑.
　　案例2：P，A，B，C為球面上的四個點，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=3 cm，PB=4 cm，PC=6 cm，求這個球的表面積.
　　
　　分析：因為PA，PB，PC兩兩互相垂直，可將PA，PB，PC視為由長方體的一個頂點引出的三條棱，這樣只要能求出長方體的體對角線長即可解決問題. 因為2R=■=■，所以S=61π cm2.
　　評注：本題解題的關鍵在于抓住PA，PB，PC兩兩互相垂直，可視為長方體的一個頂點的三條棱.
　　案例3：在正三棱錐S-ABC中，M，N分別是棱SC，BC的中點，且MN⊥AM，若側棱SA=2■，則此正三棱錐S-ABC外接球的表面積是__________.
　　分析：在正三棱錐S-ABC中，易證得SB⊥AC.因為M，N分別是棱SC，BC的中點，所以MN∥SB，從而可得MN⊥AC. 又MN⊥AM，進一步可證得MN⊥平面SAC，所以SB⊥平面SAC，從而SB⊥SA，SB⊥SC.于是在正三棱錐S-ABC中，SA⊥SC.所以SA，SB，SC兩兩互相垂直，這樣可將SA，SB，SC視為長方體的一個頂點的三條棱. 因為2R=■=■，所以S=36π.
　　評注：證明SA，SB，SC兩兩互相垂直是解決本題的關鍵.
　　案例4：Ox，Oy，Oz是空間交于同一點O的互相垂直的三條直線，點P到平面xOy、平面xOz、平面yOz的距離分別為3，4，7，則OP的長為_______.
　　
　　分析：畫出空間直角坐標系O-xyz，構造長方體，使得坐標原點O為長方體的一個頂點，因為點P到平面xOy、平面xOz、平面yOz的距離分別為3，4，7，所以點P的坐標為（3，4，7），所以OP=■=■.
　　評注：構造長方體，OP的長即為長方體的體對角線長.
　　案例5：Ox，Oy，Oz是空間交于同一點O的互相垂直的三條直線，點P到這三條直線的距離分別為3，4，7，則OP的長為_______.
　　分析：畫出空間直角坐標系O-xyz，構造長方體，使得坐標原點O為長方體的一個頂點，點P到這三條直線的距離分別為長方體的過一個頂點的三個面的對角線的長.
　　設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則
　　a2+c2=9，b2+c2=16，a2+b2=49， ?圯a2+b2+c2=37.?搖?搖
　　所以OP=■=■.
　　評注：本題的關鍵在于點P到三條直線的距離在長方體中如何得以體現.
　　長方體模型在立體幾何中的應用，除了上述例子之外，還有很多，都很好地體現了數學模型的重要性，只要我們平時對此類問題多研究，多注意總結一些好的解題方法，就會獲得意想不到的效果.