分類整合思想在解高考函數題中的應用

　　摘要：本文主要設計了高三復習教學的片段，通過對幾道近年高考函數題解法的分析、探究，討論了分類整合的思想方法在求函數單調區間、求函數最值、求函數極值、證明不等式、求參數范圍五類題型中的應用，引導學生共同探究這些題型的一般解法，探索解題規律，提高學生運用分類整合等思想方法解決綜合問題的能力．
　　關鍵詞：單調性；求導；分類；討論
　　
　　福建省《考試說明》指出：“分類與整合思想不僅是解決數學問題的常用方法，也是其他自然科學和社會科學研究的基本邏輯方法． 高考把對分類與整合思想的考查放在比較重要的位置，并以解答題為主進行考查．” 筆者帶2012屆高三畢業班，最近在準備總復習材料時，對部分二輪專題復習課重新進行了教學設計，下文就是其中的一部分．
　　本課引言略.
　　
　　■求單調區間
　　例1（2011廣東文）設a>0，討論函數f（x）=lnx+a（1－a）x2－2（1－a）x的單調性．
　　解析
　　f′（x）=■.
　　當a≠1時，方程2a（1－a）x2－2（1－a）·x+1=0的判別式Δ=12（a－1）a－■.
　?、佼?0，f′（x）有2個零點，設為x1，x2（應寫成a表示），且00（x>0），f（x）在（0，+∞）內遞增；④當a>1時，Δ>0，f′（x）有2個零點，設為x1，x2，且x1<0　　變式1（2010山東）已知函數f（x）=lnx－ax+■－1（a∈R）.
　?。?）當a≤■時，討論f（x）的單調性；
　　（2）略.
　　點撥：例1及其變式解法的共同點在哪里？如何分類討論？應用了哪些數學思想方法？
　　解后反思：例1及其變式是一類高考的常見題型——討論含參函數f（x）的單調性. 通常的解法是對函數求導后轉化為求解含參數的二次（或一次）不等式，一般要對二次項系數符號、判別式符號、兩根的大小關系進行分類討論.主要應用了等價轉化的思想.
　　
　　■求函數最值
　　例2（2011北京文）已知函數f（x）=（x－k）ex.
　?。?）求f（x）的單調區間；
　　（2）求f（x）在區間［0，1］上的最小值.
　　解析：（1）f′（x）=（x－k+1）ex，可得f（x）的遞減區間是（－∞，k－1）；遞增區間是（k－1，+∞）.
　?。?）①當k≤1時，函數f（x）在［0，1］上遞增，所以f（x）min=f（0）=－k；
　　②當1　?、郛攌≥2時，函數f（x）在［0，1］上遞減，所以f（x）min=f（1）=（1－k）e（以下略）.
　　變式（2010天津文）已知函數f（x）=ax3－■x2+1（x∈R），其中a>0.
　?。?）略；
　?。?）若在區間－■，■上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.
　　變式解析：討論a值得f（x）min的不同表達式，令f（x）min>0解得a.
　　點撥：例2及變式解題的共同之處在哪里？它們為什么要分類討論？如何進行分類討論？
　　解后反思：例2是利用導數求函數在已知區間上的最值，這也是高考函數題中的重要題型之一. 例2的變式是關于不等式恒成立的問題，也轉化為考查函數在已知區間上的最值. 因為參數不同，所求最值不同而引起討論，討論時按極值點與已知區間的位置關系進行分類. 例2變式還有其他解法.
　　
　　■求函數極值
　　例3（2009四川理）已知a>0，且a≠1，函數f（x）=loga（1－ax）.
　?。?）求f（x）的定義域，并判斷f（x）的單調性；
　　（2）略；
　?。?）當a=e時，設h（x）=（1－ef（x））（x2－m+1），若函數h（x）的極值存在，求實數m的取值范圍以及h（x）的極值.
　　解析：（1）（2）略；
　?。?）由（1）知f（x）的定義域為（－∞，0），h（x）=ex（x2－m+1）（x<0），h′（x）=ex（x2+2x－m+1），令h′（x）=0，即x2+2x－m+1=0，由題意應有Δ≥0，即m≥0.
　?、佼攎=0時，h′（x）=0有實根x=－1，在點左右兩側均有h′（x）>0，故h（x）無極值；
　?、诋?　?、郛攎≥1時，h′（x）=0在定義域內僅有一實根x=－1－■，可解得h（x）的極大值為2e-1-■（1+■）.
　　綜上所述m>0（以下略）.
　　變式3（2０0８福建文）已知函數f（x）=x3+mx2+nx－2的圖象過點（-1，-6），且函數g（x）=f′（x）+6x的圖象關于y軸對稱. （Ⅰ）求m、n的值及y=f（x）的單調區間；（Ⅱ）若a＞0，求y=f（x）在區間（a－1，a+1）內的極值.
　　點撥：例3及其變式如何進行分類討論？分析例3與例2解法的異同點.
　　解后反思：例3及其變式都是用求導及分類討論的方法求函數的極值，由于函數含參數或定義域含參數而引起討論. 例3與例2的相同點在于分類時都是討論極值點與給定區間的位置關系，而區別在于最值除可能在極值點取得外，也可在區間端點取得.
　　
　　■證明不等式
　　例4（2011課標全國文）已知函數f（x）=■+■，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y－3=0.
　?。?）求a，b的值；
　?。?）證明：當x>0，且x≠1時，f（x）>■.
　　解析：（1）略.
　?。?）由（1）知f（x）=■+■，所以f（x）－■=■2lnx－■，設函數h（x）=2lnx－■（x>0），則h′（x）=－■，所以當x≠1時，h′（x）<0，而h（1）=0，故當x∈（0，1）時，h（x）>0，因此■h（x）>0；當x∈（1，+∞）時，h（x）<0，因此■·h（x）>0，所以原命題成立.
　　變式4（2011陜西文）設f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
　　（1）略；
　?。?）討論g（x）與g■的大小關系（本小題解法與例4（2）類似）；
　　（3）略.
　　變式52010全國卷Ⅱ22（1）改編：設函數f（x）=1－e-x，g（x）=■，比較f（x）與g（x）的大小.
　　點撥：分析例4及變式，它們應用了哪些數學思想方法？并說明用構造函數法解此類題的一般步驟.
　　解后反思：例4及其變式是證明含一元變量的不等式（或比較兩個函數大?。┑膯栴}，應用了函數思想的思想方法，解決此類問題一般用構造函數法：作差（使不等式右邊為0）→變形→構造新函數→求導→判斷該函數單調性→討論函數值的正負…
　　
　　■求參數范圍
　　例5（2010湖北理）已知函數f（x）=ax+■+c（a>0）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1.
　?。?）用a表示出b，c；
　?。?）若f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
　?。?）略.
　　解析：（1）略；
　　（2）由（1）知，f（x）=ax+■+1－2a，
　　令g（x）=f（x）－lnx=ax+■+1－2a－lnx，x∈［1，+∞），則g（1）=0.
　　g′（x）=■，①當01，若11，則g′（x）>0，g（x）是增函數，所以g（x）>g（1）=0，即f（x）>lnx.
　　綜上所述，a≥■.?搖
　　變式6（2011全國理）已知函數f（x）=■+■，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y－3=0.
　?。?）求a，b的值；
　　（2）如果當x>0，且x≠1時，f（x）>■+■，求k的取值范圍.
　　點撥：分析例5及變式，此類題有共性嗎？解法有共性嗎？請比較例4、例5兩類題解法的異同點.
　　解后反思：例5及變式是一類題型：把問題轉化為已知一個含參數的一元不等式恒成立，求參數的取值范圍. 這類題解法的一般步驟是：作差（使不等式右邊為0）→變形→構造新函數→求導數→討論該函數的單調性→討論函數值的正負（或求函數的最值（或確界），令最值（或確界）與0滿足一種大小關系）→確定參數范圍. 此類題中有些題解法不唯一.
　　本課總結（略）.
　　根據學生具體情況，本課宜選擇講練結合、師生共同探究的課堂教學模式. 例題部分讓學生充分思考之后提問部分學生的解題思路、解題方法；變式題讓學生先做后再交流解法，進行實物投影等方式講授；變式5宜課后再鞏固.本課應恰當利用信息技術輔助教學，如利用幾何畫板演示含參函數圖象等. 類比同類問題的解法，歸納解題規律可使復習事半功倍. 而共同探究則可激發學生學習的主動性和積極性，提高課堂教學效率.