借助波利亞“怎樣解題表”助學生走出解題探究困境

　　摘要：數學家喬治·波利亞說過，掌握數學就意味著要善于解題． 他認為，解題過程就是一個運用探索法誘發學生靈感的過程． 師生在實際解題過程中，難免會遇到挫折，陷入解題“困境”． 那么如何排除解題中遇到的思維障礙，走出解題探究困境，成功解題呢？我們在長期的教學實踐中感覺到，利用波利亞的“怎樣解題表”，可以有效幫助學生走出解題探究的困境，提高探究能力．
　　關鍵詞：解題；解題表；探究；解題困境
　　
　　數學家波利亞說過，掌握數學就意味著要善于解題． 他認為，解題過程就是一個運用探索法誘發學生靈感的過程．波利亞一生致力于解題思維過程的研究，最終他集數十年的教學與科研經驗寫成《怎樣解題》一書，其核心是一張“怎樣解題表”，它包括4個步驟：弄清問題；擬定計劃；實施計劃；回顧．
　　事實上，從教育心理學角度看，“怎樣解題表”也的確是十分可取的，教師利用這張表可對學生進行有效的指導，發展學生獨立思考的數學思維品質和進行創造性活動的能力． 然而，師生在實際解題過程中，難免會陷入“困境”．那么如何排除解題中遇到的思維障礙，走出解題困境呢？我們在長期的教學實踐中感覺到，利用波利亞的“怎樣解題表”，可以有效幫助學生走出解題探究的困境，提高探究能力．
　　
　　■弄清問題階段：誘發念頭，探究解題思路
　　解決數學問題，學生往往苦于沒有思路． 波利亞曾說：“弄清問題是為好念頭的出現做準備”，這里的“弄清問題”就是認識問題，并對問題進行表征的過程，它是成功解決問題的一個必要前提． 研究發現，在解題過程中教師直接傳授給學生的思路，他們往往容易忘掉，在碰到具體問題后仍是不知所措． 因此我們必須讓學生學會自己弄清問題，探究解題思路．
　　例１ ?搖已知橢圓C：■+■=1和直線l：y=4x+m，試確定實數m的取值范圍，使對于直線l，橢圓C上有不同的兩點關于該直線對稱．
　　在傳統解題教學模式下，教師往往是先分析思路，再板書解題過程，學生往往容易養成思維惰性． 我們在此階段變教為誘，以誘啟思，誘導學生主動探究．
　　啟發學生思考：
　?。?）已知橢圓和直線方程，能否畫出它們的圖形？（可以）
　?。?）未知是什么？?搖圖象上兩點及其坐標均沒有給出，可以設出來嗎？一定要設出來嗎？（可以設P（x1，y1），Q（x2，y2），但未必一定要設出坐標來才能夠解題）
　?。?）題目要求干什么？解決它的關鍵是什么？
　?。ㄇ笾本€方程中參數m的取值范圍，即建立含m的不等式）
　?。?）有哪些條件可供使用？可否數學化？
　　（①P，Q在橢圓上；②P，Q的中點既在直線PQ上又在直線l上；③PQ⊥l）
　　思路1：利用判別式和韋達定理
　　設所求的取值范圍為M，依兩點關于直線對稱的定義，可知m∈M，等價于有y=－■+n（n∈R，是待定常數），使得這直線與橢圓C有兩個不同的交點P，Q，且線段PQ的中點落在直線y=4x+m上．
　　由方程組■+■=1，①y=－■+n，②?搖②代入①，得13x2－8nx+16n2－48=0．?搖 ③
　　方程③的兩根為x1，x2，且P（x1，y1），Q（x2，y2）是不同的兩點，x1≠x1，故方程③的判別式（8n）2－4×13（16n2－48）>0， ④
　　解得－■　　由方程③，根據韋達定理，得x1+x2=■，從而y1+y2=－■（x1+x2）+2n=■，?搖故有■■=4■■?搖+m，
　　所以n=－■m，代入④，得－■　　思路2：利用基本不等式
　　解題中引導學生利用基本不等式，因為x1≠x2，所以x■+x■>■成立． 運用已知即可得關于m的不等式．
　　思路3：利用直線參數方程
　　設出經過PQ中點的直線（參數為t）的方程，代入橢圓方程，得到關于參變量t的二次方程，由P，Q兩點在其中點兩側且對稱，故t1+t2=0且t1t2<0，由此得到關于m的不等式．
　　反思：本題還有多種解法，每建立一個關于m的不等式都得到一種解法．
　　
　　■擬定計劃階段：優化思路，探究最佳途徑
　　波利亞說“回到定義去”“你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？”由此可見數學基本概念、基礎知識和基本技能是解題思路的源泉，離開它們，解題就成了無本之木，無源之水． 審題之后要回顧題目中涉及哪些主要概念，這些概念是如何定義的，在題目的條件和結論里，與哪些定理、公式、法則有關，可否直接應用，題目所涉及的基本技能、方法是什么等等． 經過這樣一番深入思考之后，解題途徑將會逐步明朗，解題計劃也就隨之形成．
　　例2 過拋物線y2=4x的焦點，作直線與此拋物線相交于兩點P，Q，求線段PQ中點的軌跡方程．
　　教師教學中啟發學生分析：因過焦點的直線在過定點的直線系中除對稱軸外均與拋物線交于兩點，則這些線段均有中點，由中點坐標公式，再用坐標代換法，可求出軌跡方程．
　　解：設直線PQ的中點為M（x，y），因為F（1，0），設直線為y=k（x－1）（k存在），得y=k（x－1），y2=4x，消去x，得ky2－4y－4k=0． 由y1+y2=■及中點坐標公式知2y=y1+y2，所以y=■，即k=■，代入y=k（x－1）中，得y2=2x－2為所求的軌跡方程（當PQ方程為x=1時，弦的中點為（1，0），符合這個方程）．
　　反思：此解法學生較易想到，符合其思維特點，在化簡時通過消去變量“x”求解，但若消去“y”，則計算量便顯著增大． 能不能優化上述解題思路呢？
　　優化思路１：逆向思維
　　變換視角，設直線PQ的中點為M（x，y），P（x′，y′），則Q（2x－x′，2y－y′）．
　　因為P，Q兩點在拋物線上，所以有y′2=4x′，（2y－y′）2=4（2x－x′），
　　兩式相減得y2－yy′=2x－2x′．
　　因為焦點F（1，0）在該曲線上，所以y2=2x－2?搖為所求的軌跡方程．
　　反思：用中點的坐標表示線段端點上的坐標，然后消去開始引進的P點坐標中的（x′，y′），相當于一種逆向思維的解題方法． 學生在探究最佳方法的過程中，避繁就簡，優化思路，使自己的數學思維水平和探究能力躍上新臺階．
　　優化思路2：利用斜率相等
　　設P（x1，y1），Q（x2，y2），因為點M（x，y）是PQ的中點，P，Q兩點在拋物線y2=4x上，代入拋物線方程，兩式相減得y■-y■=4（x1-x2），?搖即2y（y1－y2）=4（x1－x2）?搖，
　　當x1≠x2時，2y·■=4，其中■表示直線PQ的斜率． 所以■=kPQ=■，代入上式中，y·■=2，即y2=2x－2為所求的軌跡方程．
　　當x1=x2時，此時方程為x=1，弦的中點M（1，0）符合上面方程．
　　反思：此法運用中點坐標公式和直線斜率相等，采用設而不求的方法，減少了運算層次，簡化了解題過程．
　　
　　■實施計劃階段：變換角度，調控思維策略
　　在解題時，常見到一些學生還沒有分析清楚，就進入了計劃實施階段：一味羅列公式和方程，因而誤入冗雜之途或導致錯解；也有學生見到陌生題無所適從，使解題陷入困境． 要擺脫困境，必須做到：（1）重新審題，弄清題意，繼續挖掘隱含條件；（2）尋找各數學量之間的聯系；（3）改變思維角度，開辟新的思路．
　　例3 從圓（x－1）2+y2=1外一點P（2，3）向該圓引切線PA，PB，切點為A，B，求弦AB的長及直線AB的方程．
　　
　　思路分析：從直觀圖形分析入手，由切線求切點，再由兩點間距離公式和兩點式求直線方程．
　　解：由圓心（1，0）到切線的距離等于半徑，求得切線方程為x=2和4x－3y+1=0． 將切線方程代入圓方程，求得切點A■，■，B（2，0）. 再由兩點式，得直線AB的方程為x+3y－2=0.
　　反思：以上是典型的用待定系數法思想解題，通過解方程組求交點，符合學生思維習慣，易被學生理解和掌握，但運算量比較大． 如何改進才能使求切點變得更簡捷呢？
　　優化思路１：利用幾何性質，由兩圓相交求切點
　　設已知圓的圓心為C，根據平面幾何性質，切點是以PC為直徑的圓與圓C的交點．以PC為直徑的圓方程為（x－2）·（x－1）+y（y－3）=0.
　　聯立（x－2）（x－1）+y（y－3）=0，?搖①?搖（x－1）2+y2=1，?搖② 兩式相減得x+3y－2=0. ③
　　再把直線方程代入①或②，得切點為A■，■，B（2，0）.
　　再由兩點式可得過切點A，B的直線方程為x+3y－2=0.
　　反思：運用平面幾何性質，可以有效地減少運算層次，簡化解題過程．值得思考的是：欲求過切點的直線方程，是否一定要求出切點的坐標呢？
　　優化思路2：巧用設而不求法，直接求過切點的方程
　　設切點坐標為（x，y），由優化1知，切點A，B坐標同時滿足方程①和②，亦滿足方程③，而方程③是含x，y的一次方程，這說明方程③即為過切點A，B的直線方程．
　　反思：優美的改進，無疑將會增添學生解題探究的樂趣，挖掘其新的思維潛能，促其走出探究困境．
　　
　　■回顧反思階段：感悟升華，探究解題成敗
　　解數學題絕不能解一題扔一題，這樣無助于解題能力的提高． 解題后的反思是提高解題能力的一個重要途徑．解題教學中可以引導學生思考：自己能否檢驗這個論證？能否用別的方法導出這個結果？能不能把這結果或方法用于其他的問題？促其解題思想得到升華，輕松走出探究困境．
　　例4 在棱長為a的正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F分別是BC，A′D′的中點．
　?。?）求證：四邊形B′EDF是菱形；
　?。?）求直線A′C與DE所成角的余弦值．
　　分析：對于第1問，學生往往由B′E=ED=DF=FB′就斷定四邊形B′EDF是菱形． 事實上，因為存在著四邊相等的空間四邊形，所以必須證明B′，E，D，F四點共面．這說明學生思維陷入了誤區． 此時我們要讓學生學會調控思路，尋找成功解題途徑．
　　感悟1:?搖尋找失敗原因，調整思維方向
　?。?）如圖2所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=■a. 下證B′，E，D，F四點共面. 取AD中點G，連結A′G，EG．由EG■AB■A′B′知，四邊形B′EGA′是平行四邊形，所以B′E∥A′G．又A′F ■DG，所以四邊形A′GDF為平行四邊形，所以A′G∥FD，所以B′，E，D，F四點共面，故四邊形B′EDF是菱形．
　　■
　　圖2
　　反思：當思維受阻時，只要及時調控思維，就能“柳暗花明”．
　　感悟2：變換策略，另辟蹊徑
　　在解題過程中，若確實碰到此路不通的情況，此時改變思維策略，也能獲得走出困境的好方法．
　　策略１：直接法
　?。?）如圖3所示，在平面ABCD內，過C作CP∥DE，交直線AD于P，則∠A′CP（或補角）為異面直線A′C與DE所成的角．?搖
　　■
　　圖3
　　在△A′CP中，易得A′C=■a，CP=DE=■a，A′P=■a，由余弦定理得cos∠A′CP=■，故A′C與DE所成角的余弦值為■．
　　策略2：向量法
　　如圖4，建立坐標系，則A′（0，0，a），C（a，a，0），D（0，a，0），E（a，■，0），所以■=（a，a，－a），■=a，－■，0，利用向量的數量積公式，得A′C與DE所成角的余弦值為■．
　　■
　　圖4
　　教學實踐表明，教師正確把握數學觀和教學觀，改變落后的解題教學思想和模式，以波利亞的解題思想為指導，以其解題系統為依據，引導學生主動探究，能夠幫助學生走出解題困境，切實提高探究能力．