基于數學史滲透的教學設計:數系的擴充

　　摘要：在數學教學中，“數系的擴充”是一個很好的滲透數學史的素材.本教學設計從數的概念發展的動力入手，通過閱讀材料的方式創設情境，適時滲透數的發展史，開闊學生的視野，提高學生的學習興趣，提升學生的數學素養.
　　關鍵詞：數學史；閱讀；引導；提煉；探究
　　
　　■教材分析?搖
　　數的概念發展的動力來自于兩方面，一方面是生產、生活的需要，另一方面是數學知識本身發展和研究的需要. 數系擴充的過程體現了數學的發現和創造過程，體現了數學發生發展的客觀需求. 通過學習，學生在問題情境中了解數系擴充的過程以及引入虛數的必要性，體會人類理性思維在數系擴充中的作用，有助于提高學生的數學素養. 復數的引入是中學階段數系的最后一次擴充. 學習復數的一些基本知識，為學習復數的四則運算和幾何意義做好知識儲備.
　　
　　■教學目標?搖
　　1. 理解復數的基本概念與復數相等的充要條件.
　　2. 經歷數的概念的發展和數系擴充的過程，體會數學發現和創造的過程，以及數學發生、發展的客觀需要.
　　3. 虛數單位i的引入，產生了復數集，讓學生體驗在這個過程中蘊涵的創新精神和實踐能力，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系，滲透必要的數學史；讓學生在問題生成和解決的過程中體驗類比、化歸等思想方法，提高數學素養，培養創新意識.
　　
　　■教學重點?搖
　　數的概念的發展和數系擴充的過程，復數的有關概念.
　　
　　■教學難點
　　虛數單位i的引進.
　　
　　■教學方法?搖
　　閱讀·引導·提煉·探究.
　　
　　■教學過程
　　一、自主閱讀 提出問題
　　【閱讀材料1】
　　我們把一個數集連同相應的運算及結構叫做一個數系. 在人類數的發展過程中，數集從自然數集擴充到實數集大致經歷了以下過程（見圖1）.
　　問題1： 閱讀以上材料，結合社會生活發展的需要思考數系的擴充過程，并在空格內填入適當的數集.
　　【閱讀材料2】
　　16世紀，意大利數學家卡爾丹（G.Cardano，1501-1576）在討論問題“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40”時，認為把答案寫成“5+■和“5-■”就可以滿足要求：
　　（5+■）-（5-■）=5+5=10，
　　（5+■）·（5-■）=5×5-■×■=25-（-15）=40.
　　問題2：卡爾丹的解釋在實數集范圍內能成立嗎？為什么？
　　設計意圖說明：在閱讀以上材料的基礎上，師生合作解決相關問題，學生對數系的擴充過程便有了一種整體性認識，并自然地猜想到數系結合新的認知沖突的出現會進一步擴充.以閱讀材料的形式創設問題情境，一方面著力培養學生的閱讀習慣，提高學生的閱讀能力，另一方面也潛移默化地培養學生歸納概括、自主發現的意識.
　　二、引導交流 數學活動
　　活動1：從數學內部發展的需要來看，每一次認知沖突的出現就帶來了一次新的數系擴充. 你能結合數系的擴充過程總結數系的擴充需要遵循哪些原則嗎？
　　活動2：在我們的數學學習中，是否還存在與閱讀材料1相類似的認知沖突呢？
　　活動3：為了使數學家卡爾丹的解釋變得合理，你認為需要引入具有怎樣特征的數？
　　設計意圖說明：通過學生積極主動的議論及教師的相機點撥，讓學生對數系擴充的原則有清晰的認識，并積極地尋求解決閱讀材料2的方法，為虛數單位的引入做好鋪墊.
　　三、自主提煉 數學建構
　　（一）數系的擴充過程
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　　圖2
　　設計意圖說明：以閱讀材料為載體，在問題串的引領下，在師生充分的交流中，讓學生自然地、自主地實現實數系向復數系的擴充，這是本節課的重點之一.
　　（二）復數的有關概念
　　1. 虛數單位的引入：
　　規定：（1）i2=-1；
　　（2）實數可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立.
　　2. 復數的定義
　　形如a+bi（a，b∈R）的數稱為復數，通常用字母z表示，其中a叫做復數的實部，b叫做復數的虛部.
　　全體復數組成的集合叫做復數集，通常用C表示，即C=｛a+bia，b∈R｝.
　　3. 復數的分類
　　復數z=a+bi（a，b∈R），若b=0，則z為實數，若b≠0，則z為虛數.
　　特別地，當a=0且b≠0時，稱為純虛數.
　　（三）復數相等的充要條件
　　如果兩個復數的實部與虛部分別相等，則稱兩個復數相等，即a+bi=c+di?圳a=c且b=d（a，b，c，d∈R）.
　　設計意圖說明：通過數系擴充過程的介紹，自然地引出虛數單位i，并順勢介紹復數的定義，再根據復數z=a+bi（a，b∈R）中，a，b的取值對復數進行分類，研究復數相等的充要條件.
　　四、實踐探究數學運用
　　1. 初步運用
　　例1指出下列復數的實部與虛部：
　　（1）4；?搖 （2）2-3i；?搖?搖（3）5i+■；?搖 （4）-6i； （5）0； （6）■i2.?搖
　　例2當實數m分別取什么值時，復數z=m（m-1）+（m-1）i是：
　　（1）實數？ （2）虛數？ （3）純虛數？（4）6+2i？
　　例3已知復數z1=（x+y）+（x－2y）i，復數z2=（2x－5）+（3x+y）i，若z1=z2，求實數x，y的值.
　　設計意圖說明：例1的設置是為了鞏固復數的相關概念. 例2的設置是為了進一步理解什么是實數，什么是虛數，什么是純虛數（特別要講清楚當a=0且b≠0時才是純虛數）. 其中由第（4）問自然過渡到復數相等的概念. 例3的設置是為了引出兩復數相等的充要條件，同時進一步鞏固復數的概念. 這個充要條件把復數問題轉化為實數問題，體現了化歸的思想方法.
　　2. 變式演練
　　練習：設z1=（m2-2m-3）+（m2-4m+3）i，z2=5+3i，當m取何實數時， （1）z1=0；（2）z1≠z2.
　　設計意圖說明：學什么就練什么. 一方面學生鞏固剛學的知識，減輕他們的負擔；另一方面增強他們學習數學的積極性和信心.
　　3. 深入探究
　　下列結論從實數集擴充到復數集是否仍然成立？
　　①?搖若a∈R，則a2≥0. 若z∈C，則z2≥0.
　　②若a，b∈R，a2+b2=0，則a=b=0.
　　若z1，z2∈C，z■+z■=0，則z1=z2=0.
　　③?搖實數可以用數軸上的點來表示.
　　復數可以用數軸上的點來表示.
　　設計意圖說明：閱讀材料揭示了從實數擴充到復數的過程，此處回到本節課的起點，進一步說明了實數集擴充成復數集后，解決了認知上的沖突，證實了擴充的合理性，并為下一節課研究復數的運算埋下了伏筆.
　　五、回顧反思 總結提升
　　（1）知識結構：
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　　（2）探究途徑：閱讀、類比、猜想、化歸.
　　（3）探究拓展：
　　你能在今天所學知識基礎上進一步研究復數的運算及復數的幾何意義嗎？
　　設計意圖說明：從知識和方法兩個角度進行總結，幫助學生進一步建構知識結構，提煉探究方法，其提出的新探究問題，將探究活動延伸到課外.
　　六、課后作業
　　1. 必做題：
　　課本105頁習題3.1第1、2、3、4題.
　　2. 選做題：
　　利用網絡等資源了解數學史上的“第一次數學危機”.
　　設計意圖說明：適當訓練幫助學生及時鞏固所學知識，同時讓學生利用網絡等資源了解數學史上的“第一次數學危機”，開闊學生的視野，提高學生的數學學習興趣，并進一步滲透數學史.