試論解題的起點——問題表征

　　摘要：問題表征是解題過程的起點，能否把數學問題的表征完善，決定著學生的解題能力. 本文從學生知識的存貯、認知的心理機制、思維能力等因素入手，討論在解題的過程中如何進行思維模式的拓展、知識的遷移和重組、數學表征系統重新構建，從而完善學生的數學問題表征系統，提高解題能力.
　　關鍵詞：問題；表征；解題；起點
　　
　　在任何解題活動中，問題在人們頭腦中的呈現形式是解題的開端，美國著名的認知心理學家和人工智能的創始人Herert A.Simon曾說：“表征是問題解決的一個中心環節，它說明問題在頭腦里是如何呈現的，如何表現出來的.” 問題表征是指解題者通過審題，認識和了解課題的結構；通過聯想，激活頭腦中與之相關的知識經驗，從而形成對所要解決的問題的一種完整的印象. 按照波利亞的《怎樣解題表》中解題的思維過程，首先是弄清問題，即了解未知數是什么；已知數據是什么；條件是什么；滿足條件是否可能；要確定未知數，條件是否充分；或者它是否不充分；或者是多余的；或者是矛盾的；它實際上是引導解題者如何形成問題的表征. 所以，問題表征是解題過程的起點，發揮著至關重要的作用. 我們有必要研究解題者在解題的起點時的問題表征，才能更好地指導學生的解題思維，為進一步解題提供明確的方向.
　　下面是高三復習考試中的一題，我們從學生的解法中理解其在解題活動中的心理機制.
　　例1 已知點B是直線l：x=-8（y≠0）上的動點，點F（-2，0），A是BF上一點，且■＝■，過B與y軸垂直的直線交過點A的直線于點M，且直線MA是∠BMF的角平分線，求點M的軌跡方程.
　　分析一設B點坐標為（-8，b）（b≠0），M（x0，y0），由■＝■，得A-4，■，獲得直線BM與MF的方程，根據角平分線的性質，A點到直線BM與直線MF的距離相等，建立等式，化簡即可.
　　簡評一解題主體在理解題意后運用了思維的內部材料，即已有的解題知識和習慣對問題形成了引入參數和利用直線的方程的思路，在內部環境與外部環境結合后，初步做出評價，利用角平分線的性質得到各種關聯的表征，從而獲得了解題思路.
　　分析二在上述解法中，學生會感到運算過程煩瑣，于是進一步分析角平分線的另一個性質，即■=■=■，聯想到圓錐曲線的第二定義，得出M的軌跡方程為橢圓，進一步設橢圓方程為■+■=1（a>b>0），F為焦點，l為準線，從而求出軌跡方程為■+■=1（y≠0）.
　　簡評二解題主體思維再次發展，根據自己的解題經驗，發現其比例關系與圓錐曲線的第二定義有著相似性，從而對思維方向進行了反饋與調整，獲得了M的軌跡符合第二定義表述的結論，從而確定M的軌跡方程為橢圓的新的問題表征，為進一步打開思路、尋求更簡捷的方法提供了方向.
　　分析三從分析二中獲得■=■=■，設M（x，y），所以■=■，化簡即得.
　　簡評三解題主體在分析二的問題表征基礎上，發現獲得方程存在一定難度，聯想到第二定義的探求過程，從而獲得更為簡潔與通用的解法.
　　由上述問題的分析可知，解題主體通過聯想，回憶頭腦中已有的數學知識以及題目給出的數學關系信息，尋求解決問題的方向，其中主體在頭腦中形成的對問題的印象決定了問題解決的方向與層次，所以問題的表征在解決問題中發揮指導性的作用.
　　下面我們分析影響問題表征的各種因素，理解學生的解題過程中最初心理機制，從而指導學生在學習過程中提高解題的能力.
　　
　　■知識經驗的儲存
　　從上述例題的探討中可以看到，解題者需要理解當前的問題情境，充分激活原有的與此相關的背景知識，引發當前問題的要素與原有知識、經驗之間充分地相互作用，將當前的問題映射到原有的知識結構中，建立適當的表征，進而通過分析、綜合和推理去解決問題. 所以，主體已儲存的數學知識信息與解題經驗越豐富、越清晰，其解題思路越開闊，思維能力越強，問題表征的形成就越清晰、越合理.
　　知識的儲存與經驗的形成需要重視解題的反思. 通過反思，引導學生回顧整個思維過程，回顧問題的結構特征及其解決過程，再現、抽象出其中的意義、要點，從過程中概括出原理性知識，使各種意義明確化. 檢查得失，從而加深對數學原理、通性通法的認識；通過系統化，使新知識與已有認知結構中的相關知識建立橫向聯系，并概括出帶有普遍性的規律，從而推動同化、順應的深入.
　　
　　■數學問題表征系統的完善
　　中學數學問題解決過程的表征系統主要包含代數表征系統、幾何表征系統、言語表征系統、表象表征系統等等. 代數表征系統是中學數學中最基本和最重要的數學表征系統，它具有高度抽象性與概括性，這種表征系統需要在教學活動中通過對代數知識與技能不斷地歸納、總結、概括和抽象才能形成. 幾何表征系統是借助代數表征系統，結合幾何特點而形成的，它具有直觀、具體、形象、便于思考等特點，它和代數表征系統是中學數學的兩大主要的表征系統. 言語表征系統在數學問題解決過程中其抽象性與概括性介于代數表征系統與幾何表征系統之間，一般均能將數學問題的言語表征轉化為代數表征或幾何表征，從而使問題簡化.表象表征系統比幾何更直觀、更形象，但其抽象性與概括性相對而言就顯得更弱些. 只了解數學問題解決過程的表征系統是不夠的，還需要將其和其他一些表征系統（如數形結合、一題多解等）有機地結合起來，進一步對解題者所學的多種數學經驗進行不斷地抽象和概括，才能形成完整的數學問題表征系統.
　　數學的基礎知識與基本技能是建立起完善的數學問題表征系統的基礎. 教師應不失時機對代數與幾何及其他一些數學知識與技能進行歸納和綜合、抽象和概括，幫助學生把握知識之間的內在聯系，引導學生通過不斷的歸納和概括形成完整的知識與技能體系. 學生所掌握的數學經驗的完整性，直接關系到學生表征系統的形成與解題能力的發展.
　　
　　■思維模式的認識
　　“數學是對模式的研究”（懷特語），整個數學實質是由各種層次的大大小小的各種模式所組成的模式系統. 在解題過程中，主體對問題形成一定印象后，搜索原有的知識系統，尋找與解決問題相似的模式，進行類比，為解決問題提供方向. 在實際的解題中，主體往往由于對原有模式的感覺模糊，從而容易形成錯誤的問題表征，使問題無法得以順利解決.
　　“如果你希望從自己的努力中取得最大的收獲，就要從已經解決的問題中找出那些對處理將來的問題可能有用的特征，如果一種解題方法是你通過自己努力而掌握的，或者是你從別處學來或聽來并真正理解了的，那么這種解法就可以成為你的一種模式，即在解類似問題時可用作模仿的一種模式”，波利亞在《數學的發現》中對模式識別的形成作出通俗而精辟的闡述.數學思維模式是識別數學知識模式的有效途徑.數學思維模式，是主體對數學知識結構、數學內容的思維程序和方式. 數學思維模式的形成來源于主體已有的數學知識和經驗，而在數學學習過程和思維模式的運用過程中不斷得到豐富和發展.
　　所以，教師在教學中應從典型的問題出發，在解決問題的過程中逐步抽象出一般的方法，然后再概括上升為更一般的模式，從而得到數學思維模式，它們是解題思維過程的一般思路的程序化的概括.
　　
　　■知識遷移與概括
　　解題主體僅完成知識的儲存、模式的積累只能形成比較粗糙、模糊的問題表征，而需要形成完善、清晰的問題則需要主動地生成和建立與此有關的知識經驗的聯系，包括有關的概念、原理、類似的問題圖式以及其他背景性經驗等，將所涉及的各種意義、要點聯系起來，并將它們與作為其基礎的原理聯系起來，與相關的背景經驗聯系起來，與探索中的各種事實資料聯系起來，積極地進行推理和判斷，進行嚴密、有序的推理，形成良好的知識結構. 而且，這種聯系不只是針對問題的表面特征，更主要的是針對問題中的深層關系和結構，即對原有知識進行遷移，對獲得的信息進行概括，這樣才能成功地解決問題.
　　所以，教師在教學中應引導學生在解題后思索，將思維結果進行推廣、引申與應用，即實現知識的遷移，并不斷完善數學認知結構，發現與問題形式表述的相似及相互之間的內在聯系，并設法利用這種相似性與聯系去解決其他問題.
　　
　　■思維方法策略
　　解題的思維過程是探索解題方法和途徑的積極嘗試發現過程，當主體面對問題時，總是通過觀察弄清問題，抓住題目的特征進行廣泛的聯想，檢索信息和回憶儲存的信息，選擇總體思路或入手的方向、原則. 在其思維過程中，合理的思維策略是形成問題的表征引路人，特別是在解題過程中沒有獲得直接明顯的方法僵局時，主體靈活運用數學基礎知識和思維的方法、策略、模式，針對具體問題的條件和結論的特征進行探索、分析，形成問題表征，才能發現解題途徑.
　　所以，在教學中教師引導學生尋求客觀事物的數學關系和結構的樣式，從已解決的問題中概括出思維方法、策略去處理類似問題，構成相似系列，即各種概念、命題與方法的相似鏈，進而完善思維方法、策略.
　　
　　■重構問題表征
　　在整個解題過程中思路受阻，主體應調整思維的方向，變換角度進行分析思考，其心理機制表現為重構問題表征，反映思維的靈活性. 所以，在解題活動中，特別是在解題受阻或尋求更為簡捷的方法時，主體需要消除問題的初始表征的影響，重構問題表征，探索新的解題方向或方法.
　　教師在教學中應注意培養學生的發散性思維，從不同角度分析問題，進行一題多解、多題一解訓練、變式訓練等，掌握類比、聯想、轉化等重構問題表征的方法，達到對知識認識的全面性的目的，使學生的思維變得更為廣闊，形成更為廣泛的問題表征.
　　問題表征是問題解決的第一步，解題者在形成了問題表征后，雖然不一定能迅速尋求到問題的解法，但它就像指南針一樣，為解題者進一步發展定好了基調，提供了各種可能.