坐標(biāo)軸平移中應(yīng)注意的兩個(gè)重要問題

　　摘 要： 坐標(biāo)變換是化簡(jiǎn)方程、研究曲線的一個(gè)重要工具，曲線方程通過適當(dāng)坐標(biāo)變換后，可使曲線方程簡(jiǎn)化，從而便于對(duì)曲線的特征進(jìn)行討論和研究。坐標(biāo)軸平移變換是化簡(jiǎn)不含項(xiàng)的二元二次方程、研究方程的曲線形狀、進(jìn)一步研究曲線性質(zhì)的重要手段。作者通過舉例說明，用坐標(biāo)軸的平移化簡(jiǎn)二次方程時(shí)，應(yīng)注意不能改變坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位這兩個(gè)重要問題，否則，將會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。
　　關(guān)鍵詞： 坐標(biāo)變換 坐標(biāo)軸平移 平移公式法 配方法
　　
　　1.引言
　　坐標(biāo)變換是指采用一定的數(shù)學(xué)方法將一種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換為另一種坐標(biāo)系的坐標(biāo)的過程，共有五種，包括平移（offset）、變倍（scale）、旋轉(zhuǎn)（rotate）、切變（shear）、反射（reflect），這些變換除平移外均以坐標(biāo)原點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，即變換前后坐標(biāo)原點(diǎn)不變。坐標(biāo)變換是化簡(jiǎn)方程、研究曲線的一個(gè)重要工具，曲線方程通過適當(dāng)平移后，可以消去一次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)，使曲線方程達(dá)到簡(jiǎn)化［１］。坐標(biāo)平移變換是化簡(jiǎn)不含xy項(xiàng)二元二次方程，研究方程的曲線形狀，進(jìn)一步研究曲線性質(zhì)的重要手段［２］。在平移變換中，橢圓的長(zhǎng)、短軸，雙曲線的實(shí)、虛軸，焦距，離心率都是不變量，而焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程、漸近線方程則隨坐標(biāo)系的變化而變化［３］。
　　坐標(biāo)軸平移是指在平面上，直角坐標(biāo)系（稱為舊坐標(biāo)系）的原點(diǎn)為O（0，0），作新坐標(biāo)系x′o′y′，使新的坐標(biāo)軸x′和y′分別與舊坐標(biāo)軸x和y同向，各坐標(biāo)系上的長(zhǎng)度單位不變，新坐標(biāo)原點(diǎn)O′在舊坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（h，k），這種只改變?cè)c(diǎn)位置，而不改變坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位的坐標(biāo)變換稱為坐標(biāo)軸的平移。平移公式為：
　　x=x′+h，y=y+y′或x′=x-h，y′=y-k。
　　坐標(biāo)軸的平移主要是用來(lái)解決將不含xy項(xiàng)的二元二次方程簡(jiǎn)化為二次曲線的方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，以便能方便地討論方程曲線的特征。坐標(biāo)軸平移法在物理、化學(xué)［４］等方面也有廣泛的應(yīng)用。用坐標(biāo)軸的平移化簡(jiǎn)二次方程時(shí)，應(yīng)注意不能改變坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位，否則，將會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。在教學(xué)中，對(duì)如下題目學(xué)生可能會(huì)有以下四種解法。
　　2.解法舉例
　　例：化簡(jiǎn)二次曲線x+4y-2x-16y+1=0為標(biāo)準(zhǔn)形式，并討論其曲線的特征。
　　解法一：平移公式法
　　把平移公式代入所給方程，整理后可得：
　　x′+4y′+（2h-2）x′+（8k-16）y′+h+4k-2h-16k+1=0（1）
　　令上式中x′、y′的系數(shù)為零，即
　　2h-2=0，8k-16=0
　　解之得h=1，k=2。代入（1）式整理得原方程在新坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)形式為
　　+=1
　　因此，所給方程的曲線為橢圓，中心在新坐標(biāo)原點(diǎn)O′（1，2），其長(zhǎng)軸為8，短軸為4。
　　解法二：配方法
　　將所給方程分別按x、y進(jìn)行配方可得
　　（x-1）+4（y-2）=16
　　即
　　+=1（2）
　　令x-1=x′，y-2=y′，代入（2）式可得
　　+=1
　　故該方程的曲線為中心在新坐標(biāo)原點(diǎn)O′（1，2）的一個(gè)橢圓，其長(zhǎng)軸為8，短軸為4。
　　解法三：配方法
　　將所給方程分別按x、y進(jìn)行配方可得
　　（x-1）+4（y-2）=16
　　即
　　+=1（3）
　　令x-1=x′，2-y=y′，代入（3）式可得
　　+=1
　　故該方程的曲線為中心在新坐標(biāo)原點(diǎn)O′（1，2）的一個(gè)橢圓，其長(zhǎng)軸為8，短軸為4。
　　解法四：配方法
　　將所給方程分別按x、y進(jìn)行配方可得
　　（x-1）+（2y-4）=16
　　即
　　+=1（4）
　　令x-1=x′，2y-4=y′，代入（4）式可得
　　+=1
　　故該方程的曲線為中心在新坐標(biāo)原點(diǎn)O′（1，4），半徑為4的一個(gè)圓。
　　3.分析
　　在以上四種解題方法中，解法一和解法二的結(jié)果一致，并符合該方程曲線的特征，是正確的方法。
　　解法三則使該方程的曲線在新坐標(biāo)系下的新原點(diǎn)發(fā)生了變化，由原本的O′（1，2）變成了O′（1，-2），這是由于在令2-y=y′中，坐標(biāo)軸y與y′的方向不一致，正好完全相反，從而導(dǎo)致得出錯(cuò)誤的結(jié)論。
　　解法四則使該方程的曲線本身發(fā)生了變化，由原本的橢圓變成了圓，并且也使該方程的曲線在新坐標(biāo)系下的新原點(diǎn)發(fā)生了變化，由原本的O′（1，2）變成了O′（1，4），這是由于在令2y-4=y′中，雖然坐標(biāo)軸y與y′的方向一致，但其長(zhǎng)度單位不相同，變成了2y與y′的長(zhǎng)度單位相同，因此在這里表面上好像作了坐標(biāo)軸平移，但不是真正的坐標(biāo)軸平移，所以導(dǎo)致結(jié)果嚴(yán)重錯(cuò)誤。
　　4.結(jié)語(yǔ)
　　綜上所述，在利用坐標(biāo)軸平移化簡(jiǎn)二次曲線方程時(shí)，必須緊扣平移的基本要求，注意以下兩個(gè)重要問題。
　　（1）坐標(biāo)軸x與x′，y與y′的方向必須一致，即其前面的正負(fù)號(hào)應(yīng)相同；
　　（2）坐標(biāo)軸x與x′，y與y′的長(zhǎng)度單位必須相同，即它們前面的系數(shù)均應(yīng)為1或相同。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　［2］王濤.坐標(biāo)平移在物理中的應(yīng)用.科學(xué)教育家［J］.2008，（6）：230-233.
　　［3］謝世裕.坐標(biāo)軸平移參數(shù)方程與極坐標(biāo)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2002，（5）（下）：32-41.
　　［4］陳瑛.坐標(biāo)平移法在化學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2010，（1）：93.