談二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值估計(jì)

　　關(guān)于二次函數(shù)f（x）=ax+bx+c在（-∞，+∞）上的最值問(wèn)題，大家已經(jīng)比較清楚，那么，在閉區(qū)間［-1，1］上的最值情況如何呢？本文通過(guò)討論，給出一個(gè)定性的估計(jì)。
　　命題1：如果二次函數(shù)f（x）=x+mx+n，m、n∈R，|f（x）|在［-1，1］上的最大值為M，那么M≥.
　　證明：（用反證法證明）假設(shè)結(jié)論不成立，即M＜.
　　因?yàn)閒（x）的對(duì)稱軸為x=-，
　　（1）當(dāng)|-|＞1，即|m|＞2時(shí)，f（x）在閉區(qū)間［-1，1］上為單調(diào)函數(shù)，
　　則有-＜1-m+n＜-＜1+m+n＜?圯-＜-1+m-n＜-＜1+m+n＜
　　?圯-1＜2m＜1?圯|m|＜，此與|m|＞2矛盾.
　　（2）當(dāng)|-|≤1，即|m|≤2時(shí)，f（x）在閉區(qū)間［-1，-］上為單調(diào)遞減函數(shù)，在閉區(qū)間［-，1］上為單調(diào)遞增函數(shù)，則有
　　-＜1-m+n＜-＜1+m+n＜-＜-+n＜?圯-＜n＜--＜-n＜?圯-2＜＜0?圯m＜0，此與m≥0矛盾.
　　綜上所述，M≥成立.
　　命題2：如果二次函數(shù)f（x）=x+mx+n，m、n∈R，|f（x）|在［-1，1］上的最大值為M，且M=，那么f（x）=x-.
　　證明： 因?yàn)閒（x）的對(duì)稱軸為x=-，
　　（1）當(dāng)-＜-1，即m＞2時(shí)，f（x）在閉區(qū)間［-1，1］上為單調(diào)遞增函數(shù)（如圖1），
　　則有1-m+n=-1+m+n≤，或1-m+n≥-1+m+n=
　　?圯m≤，此與m＞2無(wú)公共元素，所以無(wú)解.
　　（2）當(dāng)-1≤-＜0，即0＜m≤2時(shí)，f（x）在閉區(qū)間［-1，-］上為單調(diào)遞減函數(shù)，在閉區(qū)間［-，1］上為單調(diào)遞增函數(shù)（如圖2），
　　則有1+m+n=-n≥-，或1+m+n≤-n=-
　　?圯-4≤m≤0，此與0＜m≤2無(wú)公共元素，所以無(wú)解.
　　（3）當(dāng)0≤-≤1，即-2≤m≤0時(shí)，f（x）在閉區(qū)間［-1，-］上為單調(diào)遞減函數(shù)，在閉區(qū)間［-，1］上為單調(diào)遞增函數(shù)（如圖3），
　　則有1-m+n=-n≥-，或1-m+n≤-n=-
　　?圯0≤m≤4，此與-2≤m≤0有公共元素0，所以m=0，n=-，所以f（x）=x-.
　　（4）當(dāng)-＞1，即m＜-2時(shí)，f（x）在閉區(qū)間［-1，1］上為單調(diào)遞減函數(shù)（如圖4），
　　則有1-m+n=1+m+n≥-，或1-m+n≤1+m+n=-
　　?圯m≥-，此與m＜-2無(wú)公共元素，所以無(wú)解.
　　綜上所述，f（x）=x-成立.
　　推論1：二次函數(shù)f（x）=ax+bx+c，|f（x）|在［-1，1］上的最大值為M，那么M≥|a|.
　　證明：另=m，=n，則f（x）=ax+bx+c=af（x）.
　　從而有：|f（x）|的最大值M就是|af（x）|=|a|·|f（x）|的最大值.
　　由命題1知，M＝|a|·M≥|a|.
　　推論2：二次函數(shù)f（x）=ax+bx+c，|f（x）|在［-1，1］上的最大值為M，且M=|a|，那么f（x）=±a（x-）.
　　證明：另=m，=n，則f（x）=a+bx+c=af（x）.
　　從而有：|f（x）|的最大值M就是|af（x）|=|a|·|f（x）|的最大值.
　　由命題1知M＝|a|·M=|a|，所以M=，
　　由命題2知f（x）=x-，所以f（x）=a（x-）.
　　又因?yàn)閨-af（x）|=|af（x）|，所以f（x）=-a（x-），
　　所以f（x）=±a（x-）.