柯西積分定理及柯西積分公式在實函數中的應用

　　摘 要： 通過柯西積分定理及柯西積分公式來求解或證明實函數積分，可以簡化實函數積分計算的問題。
　　關鍵詞： 柯西積分定理 柯西積分公式 實函數 積分
　　
　　在數學分析的某些積分運算中，如果按照常規的積分進行運算，就可能導致被積表達式相當復雜，最終無法完成積分運算。通過引入柯西積分定理及柯西積分公式來求解或證明實函數積分，從某種程度上可避免這種復雜的過程，從而輕松地進行求解，有事半功倍的效果。
　　一、柯西積分定理
　　柯西積分定理：設C是一條周線，D為C的內部，函數f（z）在D內解析，在=D+C上連續，則∮f（z）dz=0.
　　例1：由積分I=∮（C∶|Z|=1）的值， 求∮dq的值.
　　解：因為符合柯西積分定理的條件，則有∮=0
　　令z=cosq+isinq，（-p≤q≤p）
　　I=∮=∮dq
　　=∮dq
　　=∮dq
　　=dθ+idθ
　　I=dθ=0
　　I=idθ
　　=2idθ=0
　　所以dθ=0.
　　從例1我們可以看出，如果按照常規方法，將所要求解的dθ，用萬能公式代換的話，將變得相當復雜，而柯西積分定理卻避免了這種復雜性，使得解題思路清晰，解題過程簡潔明了，很大程度上提高了解題效率，不失為求解這種實函數的好辦法。
　　二、柯西積分公式
　　柯西積分公式：設區域D的邊界是周線（或復周線）C，函數f(z)在D內解析，在=D+C