排列組合應(yīng)用題教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)

　　摘 要： 排列組合是中學(xué)階段學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所必須具備的基礎(chǔ)知識(shí)，這部分內(nèi)容具有較抽象，應(yīng)用題結(jié)論難以預(yù)算，易重復(fù)和遺漏，不易發(fā)現(xiàn)等特點(diǎn)。作者在排列組合應(yīng)用題教學(xué)中，狠抓基本解法，發(fā)散思路、一題多解兩個(gè)方面，頗有成效。
　　關(guān)鍵詞： 排列組合應(yīng)用題 基本解法 發(fā)散思路，一題多解
　　
　　中學(xué)階段學(xué)習(xí)的排列組合，既是為學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理、概率初步作準(zhǔn)備，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所必須具備的基礎(chǔ)知識(shí)。這部分內(nèi)容具有較抽象，應(yīng)用題結(jié)論難以驗(yàn)算、易重復(fù)和遺漏、不易發(fā)現(xiàn)等特點(diǎn)。但是，只要在內(nèi)容上合理安排，抓住關(guān)鍵，善于誘導(dǎo)、啟發(fā)，教法靈活多樣，遵循由淺入深、從易到難、循序漸進(jìn)的原則，著重邏輯思維的培養(yǎng)，就能克服這些難點(diǎn)。
　　我在排列組合應(yīng)用題教學(xué)中，狠抓四個(gè)環(huán)節(jié)（即“兩個(gè)原則，兩個(gè)概念，基本解法，發(fā)散思路、一題多解”）的教學(xué)，頗有收效，下面我重點(diǎn)就后兩個(gè)環(huán)節(jié)談點(diǎn)體會(huì)。
　　一、基本解法
　　對(duì)于排列組合的應(yīng)用題解法有：
　　直接法分步法（用乘法原理相乘得）分類(lèi)法（用加法原理相加得）
　　間接法：排除法（不受條件限制的總排列數(shù)減去不合條件的排列數(shù)）
　　關(guān)于排列組合應(yīng)用題可大致分為三類(lèi)：
　　（1）單純的排列（組合）題。
　　（2）有附加條件的排列（組合）題。
　　（3）排列組合綜合題。
　　下面分別進(jìn)行討論。
　　1.單純的排列（組合）題
　　這一類(lèi)型的應(yīng)用題可直接依據(jù)排列（組合）公式得出或利用乘法原理得出。
　　例1：10個(gè)座位，5個(gè)人去坐，每人坐一個(gè)座位，有幾種坐法？
　　解法一：以人當(dāng)“位子”，座位當(dāng)“元素”，以從10個(gè)元素里每次取5個(gè)元素的一種排列對(duì)應(yīng)一種坐法，因此共有種A種坐法。
　　解法二：以人為主來(lái)考慮，設(shè)5個(gè)人為甲、乙、丙、丁、戊，甲去坐位子的方法有10種；甲坐好后，乙的坐法只有9種，甲、乙兩人不論哪一種方法坐好后，丙去坐的方法只有8種……依乘法原理，共有10×9×8×7×6種，這恰好是A種坐法。
　　2.有附加條件的排列（組合）題
　　這一類(lèi)型的應(yīng)用題關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生如何處理特殊元素（被條件限制的元素）與特殊位置（被條件所限制的位置）的關(guān)系問(wèn)題。這一題型以“排隊(duì)”、“組數(shù)”等問(wèn)題為多見(jiàn)。下面就一題談其解法，并試圖揭示其技巧。
　　例2：用0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字組成多少個(gè)不重復(fù)的六位奇數(shù)？
　　解法一：要構(gòu)成這樣的六位奇數(shù)，可先考慮末位，其次考慮首位，最后考慮中間四位。末位的排法有A個(gè)，首位的排列有A個(gè)，中間排法有A個(gè)，由乘法原理可知，合乎條件的排法有A·A·A=288（個(gè)）。
　　這是分步法，它的思路是：
　　（1）找出特殊位置（條件限制）；（2）求出特殊位置上的排列數(shù)；（3）求出其它位置上的排列數(shù)；（中間四位A種）（4）利用乘法原理求出總排列數(shù)：A·A·A。?搖?搖
　　解法二：要構(gòu)成這樣的六位數(shù)，可分為三類(lèi)：個(gè)位為1；個(gè)位為3；個(gè)位為5。這三類(lèi)的各自排列數(shù)都是A·A個(gè)，故用加法原理可知：合條件的排列總數(shù)為A·A+A·A+A·A=288（個(gè)）。
　　從解法中，我們可以看出，以特殊元素出發(fā)，把特殊元素在特殊位置上分類(lèi)排出，再加而成。這就是我們常說(shuō)的分類(lèi)法，它的思路是：
　　（1）找出特殊元素；（2）考慮特元在特位上的排列數(shù)；（3）考慮分類(lèi)各自的排列數(shù)；?搖?搖（1?搖?搖3?搖?搖5）?搖?搖?搖?搖?搖?搖
　　（4）再用加法原理。（都是A·A種）
　　在分類(lèi)中，一般都是以限定條件來(lái)分類(lèi)，故應(yīng)注意：
　　（1）各種情況相互之間無(wú)重復(fù)部分。
　　（2）各類(lèi)都必須合乎題目要求。
　　（3）必須沒(méi)有遺漏部分。
　　解法三：若無(wú)條件限制則總排列數(shù)應(yīng)該是A個(gè)，其中不合條件的可看作四類(lèi)：
　　①“0”在首位，排列數(shù)為A；
　　②“0”在個(gè)位，排列數(shù)為A；
　　③“2”在個(gè)位，排列數(shù)為A·A；
　　④“4”在個(gè)位，排列數(shù)為A·A；
　　所以合乎條件的排列為：A-（A+A+A·A+A·A）=288（個(gè)）
　　從上述解法三可以看出：總的排列數(shù)減去不合條件的排列數(shù)等于合乎條件的排列數(shù)，這種方法就是我們常說(shuō)的間接法。
　　以上三種方法是解這類(lèi)題目的常用方法，教師若教學(xué)有方，訓(xùn)練得當(dāng)，學(xué)生是很容易掌握的。
　　3.排列組合綜合題
　　這類(lèi)題目是包含排列和組合的混合題，特別要求學(xué)生概念清楚，解題時(shí)，“分步”和“分類(lèi)”合理。
　　例3：以6個(gè)男同學(xué)和4個(gè)女同學(xué)里，選出3個(gè)男同學(xué)和2個(gè)女同學(xué)分別承擔(dān)A、B、C、D、E五項(xiàng)工作，一共有多少種分配方法？
　　解法一：此題顯然用“分步法”較易，根據(jù)題目要求，必須依次完成“選出3個(gè)男同學(xué)”、“選出2個(gè)女同學(xué)”、“對(duì)選出的人分配不同的工作”三個(gè)步驟。可把同學(xué)當(dāng)元素，工作看作位置，因選人是組合問(wèn)題，所以男同學(xué)和女同學(xué)的選法分別為C和C種，將元素安排位置是排列問(wèn)題，故選出的5個(gè)同學(xué)分配不同的工作有A種方法，根據(jù)乘法原理知，分配方法的總數(shù)為C.C·A=14400（種）。
　　解法二：也可把工作當(dāng)作元素，同學(xué)看作位置，即把完成分配工作這件事分成為“先給男同學(xué)（女同學(xué)）分配工作，再給女同學(xué)（男同學(xué)）分配工作”兩個(gè)步聚進(jìn)行。所以第一步以5種工作里任選出3種（組合問(wèn)題）分給6個(gè)男同學(xué)所選出的3人（排列問(wèn)題），有C·A種，再將余下的工作分給4個(gè)女同學(xué)的任2位，有方法A種，根據(jù)乘法原理知，分配方法總數(shù)一共有C·A·A=14400（種）。
　　二、發(fā)散思路，一題多解
　　發(fā)散思路、一題多解，是培養(yǎng)學(xué)生牢固掌握知識(shí)，靈活運(yùn)用知識(shí)的一種好辦法，而一題多解更是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的一條重途徑（它具有流暢、變通，獨(dú)立等特征，是從多渠道中不拘泥常規(guī)，尋求解答的一種思維形式），所以在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，不只對(duì)雙基訓(xùn)練會(huì)收到事半功倍的效果，更會(huì)增強(qiáng)學(xué)生實(shí)際生活中的應(yīng)變能力。
　　例4：0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)不重復(fù)且能被5整除的五位數(shù)？
　　解法一：要構(gòu)造這樣的五位數(shù)可分兩步：先挑個(gè)位和首位，再排中間三位。而個(gè)位的排法有A種，首位的排法有A種，故第一步共有排法A·A種。但此時(shí)包括個(gè)位和首位同時(shí)為5的情況，故合乎條件的首未兩位共有排法（A·A-1）種。中間三位的排列有A種。據(jù)乘法原理知，合乎條件的五位數(shù)是（A·A-1）·A=216（個(gè)）
　　解法二：可分兩類(lèi)：
　　①個(gè)位是“0”的五位數(shù)有A個(gè)；
　　②個(gè)位是“5”的五位數(shù)有A·A個(gè)。
　　由加法原理知：合乎條件的五位數(shù)有：A+A·A=216（個(gè)）
　　解法三：若無(wú)條件限制選出五個(gè)數(shù)字的總排列為A個(gè)，即A排列中不合乎條件的可分為兩類(lèi)：
　　①“0”在首位的排列有A個(gè)；
　　②個(gè)位為1、2、3、4的排列有A·A·A個(gè)
　　故符合條件的排列為：A-（A+A·A·A）=216（個(gè)）
　　解法四：也可這樣考慮：A個(gè)總排列中不合條件的排列有：
　　①個(gè)位為1、2、3、4的排列A×A（個(gè)）
　　②“0”在首位且個(gè)位為“5”有A個(gè)
　　故合乎條件的排列為：A-（A·A+A）=216（個(gè)）
　　解法五：合乎條件的個(gè)位是“0”和“5”，故有排列A個(gè)，合乎條件中的首位是1、2、3、4、5，故有排列A個(gè)，中間三位有排法A個(gè)，這樣的排列有A·A·A個(gè)，但這時(shí)“5”同時(shí)在首未兩位且“0”不在內(nèi)的排列有A個(gè)（因?yàn)锳·A·A個(gè)排列中“0”在內(nèi)的排列都是合乎條件的排列）。故合乎條件的排列有A·A·A-A=216（個(gè)）。
　　教學(xué)中自始至終以“兩個(gè)原則”為紅線(xiàn)，從基本方法入手，抓住關(guān)鍵，點(diǎn)破規(guī)律，誘導(dǎo)啟發(fā)，發(fā)散思路，一題多解，這樣就能使學(xué)生在親身的探索中，掌握解題的技巧、培養(yǎng)探索能力，激發(fā)學(xué)生的興趣，收到良好的效果。