高中數學知識的變式教學實踐

　　摘 要： 本文簡要介紹了變式教學的理論基礎，用實際教學中的兩個案例介紹了教學中的變式練習實踐。
　　關鍵詞： 變式 高中數學知識 變式教學
　　
　　變式是指變換問題的條件或表征，而不改變問題的實質，只改變其形態；變式是對于某種范式的變化形式，不斷變更問題的情境或改變思維的角度，在保持事物的本質特征不變的情況之下，事物的非本質屬性不斷遷移的變化方式［１］。
　　在實際教學時，通過變式訓練使學生深刻理解本質屬性，排除事物的非本質屬性的干擾，從而形成正確的概念，一直是數學教育研究的熱點；在習題方面，通過變式練習，使學生形成基本運算和遷移知識的能力，最終達到提高學生能力的目的，也是教師們一直追求的目標。
　　變式教學的理論基礎來自于建構主義學習論：數學學習不應被看成純粹的個人行為，也即對于知識的被動接受和簡單積累，而應被看成個體在一定社會環境中的建構活動(意義賦予)，新、舊知識(和經驗)的組織與重組，是形式建構與“具體化”的辯證統一。真正的數學教學應具有如下幾個特征：(1)在學習目標方面，表現為對知識的深層次的理解；(2)在學習過程中，表現為高水平的思維；(3)在學習的情境方面，表現為師生，生生之間的充分溝通，合作［２］。在學習活動中，教師應在肯定學生主體地位的前提下，在教學活動中起主導作用，教師需要就學習內容設計出有思考價值，符合學生認知發展規律，能激發學生興趣的問題，創設平等、自由的學習氛圍，充分開展師生、生生之間的交流與合作學習，引導學生通過持續的分析、探索、假設、檢驗去解決問題，提升探究數學知識的能力。
　　安德森將知識分為陳述性知識和程序性知識。陳述性知識是關于“是什么”的知識，是對事實、定義、規則和原理等的描述。程序性知識則是關于“怎么做”的知識，如怎樣進行推理、決策、或者解決某類問題等［３］。喻平（2000）認為數學知識的分類按照廣義的知識分類是合適的，他將數學知識分為陳述性知識和程序性知識。學生的學習常常從陳述性知識的獲得開始，而后進一步加工消化，成為可以靈活、熟練應用的程序性知識。
　　高中數學學習的內容跨度大、抽象性強，只有促進高中學生對數學知識的深刻理解，才能達到掌握和靈活應用數學知識的目的。人們對知識的深刻理解都具有一定的時空性、階段性和漸進性，因此，只有在變化環境下反復理解，學生的認識才能不斷深入。
　　在變式教學中，變式練習是陳述性知識轉化為程序性知識點的關鍵環節。變式練習就是指在其他教學條件不變的情況下，概念和規則等程序性知識的例證的變化。變式練習可以讓學生在練習過程中，通過多角度的分析、比較、聯系，去深刻理解問題的結構和解決策略。下面通過兩個例子來談一下變式練習在實際教學中的應用。
　　題目1：（高中數學新教材第二冊（上）P130 例2）直線y=x-2與拋物線y=2x相交于A、B兩點，求證：OA⊥OB。
　　本題是課本上一道習題，下面對其進行變式探究。推廣變式：由原式知y=x-2與x軸交點坐標為（2，0），對拋物線y=2x中p=1，將此拋物線方程推向一般情況，則得到下列變式：
　　變式1：直線l過定點（2p，0），與拋物線y=2px（p＞0）交于A、B兩點，O為原點，求證：OA⊥OB。
　　證明：設l的一般方程式為x=ky+2p，代入題目中的拋物線方程中，化簡得到：y-2pky-4p=0，所以y+y=2pk，y·y=-4p，所以xx=（）=4p，所以·=xx+yy=0，所以⊥，即OA⊥OB。
　　如果我們將上題中的圖形中新加載另一個圖形圓，則可有下面的試題：
　　變式2：（2004年重慶高考理科卷）設p＞0是一常數，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y=2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）。試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程。
　　由變式1可知OA⊥OB，即點O在圓H上，因H為圓心，故H為AB的中點。由中點坐標公式可以求出x=(x+x)=(4p+n(y+y))=(2+p)p，y=(y+y)=pn。
　　顯然OH為圓的半徑，且OH==，所以當n=0時，圓的半徑最小。此時AB的方程為x=2p。
　　當然我們還可以對此題進行逆向研究，即將此題變式1的條件和結論進行互換得到下列命題：
　　變式3：若A、B為拋物線y=2px(p＞0)上兩個動點，O為原點，且OA⊥OB，求證：直線AB過定點。
　　過定點問題是一個高考中的熱點，而通過這樣的變式不僅讓學生的思維活躍起來，而且能引發學生去主動地思考問題和解決問題。本題只要設出A、B兩點坐標，根據這兩點滿足拋物線方程和垂直的條件即可證明此問題。對本問題稍微改變一下設問則可得到下面試題：
　　變式4：(2001春季高考題)設點A、B為拋物線y=4px（p＞0）上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明軌跡表示什么曲線。
　　解有上面的變式可知AB過定點N（4p，0），OM⊥AB?圯OM⊥MN，所以點M的軌跡是以ON為直徑的圓（除原點），其方程也可求出。
　　思考：直線與圓錐的位置的關系問題是多年來高考重點考查的內容，該題以拋物線和直線為載體全面考查解析幾何的思想與方法，通過變式練習層層推進知識的發生發展過程，符合學生的認知規律，使得學生在知識和能力上有一定的收獲和提高。
　　題目2：（高中數學新教材第二冊（下A、B）P131 例2）在一段線路中并聯著3個自動控制的常開開關，只要其中有一個開關能夠閉合，線路就能正常工作。假定在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率。
　　本題比較容易，但是我們可借助本題進行如下變式探究：
　　將已知中的條件變形如下：
　　變式1：假設三個開關全部串聯，在其余條件不變的情況下，怎樣求線路正常工作的概率？
　　解：設這三個開關能閉合為事件A，B，C，則可求得概率為P(A)·P（B）·P（C）=0.7=0.343。
　　變式2：若其中2個開關串聯后再與兩外一個并聯，在其余條件不變的情況下，如何求線路正常工作的概率？
　　假設三個開關為M，M，M由已知M，M串聯，再與M并聯，則線路正常工作的概率為1-［1-P(A)·P（B）］·［1-P(C)］=1-（1-0.7）（1-0.7）=0.847。
　　變式3：若其中兩個開關并聯后與另一個開關串聯，在其余條件不變的情況下如何求線路正常工作的概率？
　　假設由已知并聯，再與串聯，則得
　?。?-［1-P(A)］［1-P（B）］)·P(C)=［1-（1-0.7）］0.7=0.637
　　變式4：（2001年天津高考理科卷）用A、B、C三類不同的元件聯結兩個系統，當元件A、B、C都能正常工作時，系統N能正常工作；當元件A正常工作，元件B、C至少有一個正常工作時，系統N能正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率分別為0.8，0.9，0.9，分別求系統正常工作的概率。
　　可以看出這一例題是以上變式的綜合變形，這樣使得學生經過類比、分析，不斷對問題進行深入理解。這種一題多變的變式教學能夠完善學生的知識結構和認知結構。其實還可以深入進行思考：
　　以上4個變式只是對3個開關的連接，假設有4個或者多個呢？會有怎樣的情況發生？將上述題目題變成開放式的問題：
　　變式5：若該線路友4個開關（串、并）聯結而成，已知每個開關能夠閉合的概率都是0.8，若要求線路正常工作的概率（稱為可靠度）大于0.85，請設計開關的聯結方式。進一步引導學生分類討論思考。上題可分析共有7種聯結方式，詳情也請讀者思考。這里不再詳細贅述。
　　著名的教育家波利亞曾說：“好問題跟某種蘑菇有些像，它們都成堆生長，找到一個以后，應該在周圍再找找，很可能附近就有好幾個。”由此在數學教學中 ，若通過變式教學，引導學生從一個問題出發，運用類比、特殊化，一般化的方法去探索問題的變化，則能使學生發現問題的本質，去揭示其中的數學思想。所以恰當合理深入的變式教學使得課堂變得生動活潑，學生愛學，老師樂教，這樣既有利于學生學習知識，又有利于培養學生的創新能力。
　　
　　參考文獻：
　?。?］丁殿坤，邊平勇.變式在高等數學中的應用.高等函授學報，2010.
　?。?］謝景力.數學教學的變式及實踐研究［D］.2006.
　?。?］陳琦，劉儒德主編.當代教育心理學（第2版）.北京師范大學出版社，2007.