論新課標下的高中數學學習

　　摘 要： 本文作者對新課標下高中的數學學習的特點和理論進行了闡述，提出有效學習數學的兩種做法：形成良好的數學認知結構，增強數學遷移，并對新課標下的高中數學學習注意的問題進行了補充說明。
　　關鍵詞： 新課標 數學學習 特點與理論 有效學習策略
　　
　　2000年召開的第九屆國際數學教育大會指出，上世紀80年代以前數學教育的研究主要圍繞數學課程與教學方法進行，80年代以后對數學學習過程的研究開始興起。長期以來，我國在中學數學對于學生學習的研究則十分薄弱。教育部關于《普通高中數學課程標準(實驗)》的制定和新課程的逐步實施，使得我國的數學基礎教育正大踏步地趕上世界數學教育發展的潮流，促使數學教育工作者加快對高中學生數學學習理論和實踐的研究。
　　一、新課標下數學學習的特點與理論
　　學習是一種活動，是獲得經驗與行為變化的過程。也就是說，并非所有的行為變化都是學習，只有在積累知識經驗基礎上的行為變化才是學習，而且學習是一個不斷漸進提高的過程。
　　高中數學學習是學生學習的一個重要組成部分，學生依據數學課程標準，按照一定的目的、內容、要求，系統地掌握數學知識與技能的過程。并在這一過程中，注重提高學生數學思維能力、發展學生的數學應用意識、養成良好的數學心理品質［１］。數學學習除了具有學生學習的一般特點外，還有以下三個顯著特點：（一）是一種科學的公共語言學習；由數學符號，以及它們的各種有機組合所構成的數學，可以反映存在于現實世界中的一些關系和形式，因此，它是一種語言，且被廣泛運用于各門科學。（二）學生學習數學必須具備較強的抽象概括能力。（三）最有利于學生推理能力的發展。數學是一門建立在公理體系基礎上，一切結論都需加以嚴格的證明。數學證明所采用的邏輯形式最基本、最主要的就是三段論（大前提、小前提和結論的論證）。學生在高中新課程中的數學學習中，反復學習使用三段論來解答各種數學問題，這對于他們推理能力的發展無疑是極其有利的。
　　近代國外的數學學習理論發展較快，學術派別眾多，主要有以下基本觀點。
　　（一）當代著名的兒童心理學家或發生認識論專家瑞士心理學家皮亞杰（J.Piaget），提出關于智力發展的基本觀點：圖式，同化，順應和平衡。在數學學習中，“學習要有準備”，理解的學習才是真正的學習。
　　（二）美國當代認知心理學的代表人物之一奧蘇伯爾（D.P.Ausubel）提出有意義言語學習理論，又稱認知同化理論。它的理論為數學學習提供了心理學依據，并提出數學概念學習中的三種同化模式：①下位學習模式（同化），例如復數→實數性質、法則、運用；②上位學習模式（順應），例如函數→運算、關系、映射；③并列結合學習模式（聯合），例如函數圖像就是函數式與幾何圖形的并列結合；曲線方程就是幾何與代數的并列結合。
　　（三）美國當代著名心理學家加涅（R.M.Gagne）提出累積學習的模式，學習任何一種新的知識技能，都是以已經習得的、從屬于它們的知識技能為基礎的。他提出數學學習的四對象：事實、技能、概念、原理；并把數學學習分成的四個階段：理解、習得、存儲、提取。
　　（四）美籍匈牙利人波利亞（G.Polya）提出數學學習的三原則：主動學習、最佳動機、階段序進。他做的“怎樣解題”表可以分成四個步驟來實施：弄清解題、擬定計劃、實現計劃、回顧，還提出“問題解決”是數學學習的心臟。
　　二、數學有效學習策略
　　如何才能在新課標下學好數學呢？我通過理論學習、教學實踐和調查研究發現，以下兩種做法對數學學習有很大的益處。
　　（一）形成良好的數學認知結構
　　所謂“數學認知結構”，就是學生頭腦里的數學知識按照自己的理解深度、廣度，結合著自己的感覺、直覺、記憶、思維、聯想等認知特點，組成的一個具有內部規律的整體結構。簡單地講，就是學生頭腦里獲得的數學知識結構，是一種經過學生主觀改造后的知識結構。認知心理學家認為，學習的實質是形成認知結構，數學學習也一樣。
　　良好的數學認知結構具備的條件是：（1）理解數學元認知（Metacognition）。數學元認知其實質是對數學認知活動的自我意識和自我調節。具體地說，是關于個人自己認知過程的數學知識和調節這些過程的能力：對思維和學習活動的知識和控制。（2）應具有豐富的數學基礎知識，豐富的數學知識儲備量能保證在應用時有足夠的知識可提取。比如說，要解決有虛根的方程，必須對數集的擴充必須有充分的了解。從數字的發展來看：（為了計數的需要）引進自然數集，（表示有相反意義的量的需要）引進整數集，（為了測量的需要）引進有理數集，（表示量與量的比值）引進無理數集，（由于解方程的需要）數學家才不得不引入了缺乏現實背景的虛數集，實數集和虛數的組合而形成復數集，其被廣泛認可，以及其幾何意義的確立，表明了直觀性的幾何對代數的促進作用。（3）數學知識的貯備要具有層次性、條理性，形成層次網絡結構。諸如，高中數學學習三角函數關鍵是掌握誘導公式、兩角和與差的余弦公式；圓錐曲線關鍵是“曲線上一點到定點的距離與到定直線的距離比的值的變化”，即離心率的變化；立體幾何學習，關鍵是掌握點、線、面的相互關系和應用，等等。
　　（二）增強數學遷移能力
　　遷移通常理解為“把在一個情境中學到的東西遷移到新情境中的能力”。研究發現，學習經驗與遷移能力并不是正相關的，有些學習經驗會導致強記憶弱遷移和強記憶負遷移，而另外一些卻能誘發強記憶強遷移和強記憶正遷移［２］。遷移實質上是一個要求學習者積極參與與選擇和評估策略、思考資源和接受反饋的過程，就是把遷移看成一個動態的過程。而靜態遷移就是認為初始學習后學生即具有解決遷移問題的能力。如何做到動態數學遷移呢？應從以下幾個方面入手。
　　1.注重數學理解
　　初始學習不達到一定的理解水平，遷移是不會發生的。剛學完某個新知識就急于做難題，就屬于這個范疇。這對教學而言非常重要，這正是高中數學普遍存在的問題。學生難題解決不了，就用強行記憶來彌補，強記憶弱遷移和強記憶負遷移在所難免。在數學新知識的學習過程中，其意義的建構和獲得還沒有真正完成，新舊數學知識之間的聯系有一個繼續同化的過程，只有對數學意義深化、貫通，并且數學知識聯系達到一定程度的鞏固、強化，數學知識遷移才可能開始。比如說，計算機芯片中最基本的邏輯電路只有3種：或門、與門和非門。這三個其實是數學中集合的并、交、補3種運算，也就是說，芯片的設計，在本質上用到的是數學中的集合運算。
　　2.利用數學變式
　　適當安排一些恰當的反例、辨析題、變式題不僅可以用于知覺學習，而且可以用于概念學習。數學是由兩個大類即證明和反例組成的，數學發現主要是提出證明和構造反例。從科學性來講，反例就是推翻錯誤命題的有效手段。反例能豐富和加深學生對抽象數學理論的理解，對數學概念、性質、定理有比較清晰的認識。通過反例能加強學生的感知印象，有利于學生將所學知識內化。比如說，不可能事件的概率必為零，反之卻未必成立；當考慮的概型為古典概型時，概型為零的事件一定是不可能事件；當考慮的概型是幾何概型時，概型為零的事件未必是一個不可能事件。辨析題、變式題能幫助學生把原先所沒有注意到的非本質屬性和本質屬性的區別加以澄清，提高解題學習中的遷移能力。
　　3.突破原有經驗影響遷移
　　“所有的學習都涉及到原有經驗的遷移”，這一原理對包括數學學習在內的所有數學教育實踐意義都具有重要意義。由于學習涉及到先前經驗的遷移，所有現有知識也能成為學習新信息的障礙，因此在學習中要善于發現，就是人們運用自己的智慧去獲得前人從未獲得過的知識的過程。數學學習中的發現，是學生對自己頭腦中已有的數學信息（事實、概念、原理等）進行操作、組織和轉化，從而親自獲得新信息所進行的學習，其過程是：掌握學習課題，提出猜想、驗證。諸如數學史上許多數學家提出的猜想，高中數學課本上出現的歐拉定理（Euler Theorem）簡單多面體f(p)=V+F-E=2，還有其他的如哥德巴赫（Goldbach）猜想、希爾伯特（Hilbert）的23個問題和龐加萊（Poincaré）猜想……這些猜想都是突破原有經驗影響而發現的，并有待證明。
　　三、新課程下的高中數學學習需要注意的問題
　　粗略地按自然現象將數學劃分為確定性數學、或然性數學、模糊數學和突變理論，這已經顯示出對不同的數學課程需要有不同的學習方法［３］。對新課標下高中數學學習來說也有不同的方法，運用系統論的觀點方法，以及現代認知心理學的學習理論，從學習者自身因素、環境因素等方面，注意數學學習的一般過程和特殊過程；注意認知因素（認知結構、思維發展水平、能力等）和非認知因素（學習動機、興趣、情感、態度等）及家庭、學校、社會對數學學習的影響；注重現代信息技術和網絡技術在數學中的應用，注重數學實驗和數學文化，增強數學學習中的動手能力和實踐能力，力圖自己建立數學模型。從經驗看，在數學學習中注意形與數的結合是比較容易的，但要使高中學生認識序、結構、算法等在數學中的地位和作用，則是比較困難的。所以，按照新課標要求，學生一定要從整體出發，探索數學學習觀、數學學習的基本原則和基本方法，從中揭示數學學習的特點和規律，從而達到學習的理想效果。
　　
　　參考文獻：
　　［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗).人民教育出版社，2009.
　　［2］涂榮豹，王光明，寧連華.新編數學教學論.華東師范大學出版社，2006.
　　［3］張國杰.“數學學習論”三題.曲阜師范大學學報（自然科學版），1994.