運用數學培養學生的思維能力

　　摘 要： 思維能力是智力的核心。在大力提倡素質教育、創新教育的今天，有意識、有系統地培養學生的思維能力，是一件刻不容緩的事情。數學是人類思維的體操。它在培養人類思維方面有著得天獨厚的優勢，數學教學應圍繞揭示思維過程、培養學生思維能力為目的而展開，引導學生從不同的角度、不同途徑去考慮問題，使學生在學習中能舉一反三、聞一知十。
　　關鍵詞： 數學教學 思維能力 培養方法
　　
　　一、設置階梯漸進題型，培養學生的集中思維能力
　　集中思維是指思考中信息朝一個方向聚斂，從而形成單一的、確定的答案的認識過程。這就要求教師在對某一難點問題進行教學時，注意設置階梯問題，進行連續強化刺激，以達到使學生既掌握知識，又訓練思維的目的。如在學習“相似三角形的面積等于相似比的平方”這一知識點時，可以安排下列一組題目：
　　例1.如圖1，在△ABC中，DE∥BC，且AD∶DB=1∶2，求S∶S的值.
　　例2.如圖1，若DE∥BC，且AD∶DB=1∶2，求S∶S的值.
　　例3.如圖2，在△ABC中，DE∥FG∥BC，S=S=S，若BC=15，求FG.
　　注：例1設置簡單，可直接運用上述性質得出答案。例2與例1差不多，但仔細觀察發現，已知條件和所求的問題都發生了變化，它是例2的發展與延伸。例3是例1、例2的變化與延伸。從培養學生集中思維能力的角度來看，若直接給出例3很容易使學生思維受阻，而通過這一組例題的搭配，保證了學生數學思維過程的暢通性，提高了思維能力。
　　二、設置一題多問題型，培養學生的發散思維能力
　　發散思維是指全面地觀察問題，運用多方面的知識去尋求解題方法的一種思維能力。它要求人們思考問題時信息從各種可能的方向擴散，并引出更多新信息、新結論，使學生的解題思路不拘于一個途徑，不局限現有的理解，盡可能得出合乎條件的多種答案。
　　例4.如圖3，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，DE⊥AC與E，求證：BD=CD.
　　本題在不改變題設的情況下，可作如下的引申：
　　引申1：求證：DE是⊙O的切線；
　　引申2：求證：DE=EF?EA；
　　引申3：求證：CE=EF.
　　三、設置相似圖形題型，培養學生的變通思維能力
　　變通思維是根據已有的知識結構和經驗進行多方位、多層次、多角度分析研究的思維活動，從而創造性地解決問題。這種思維一般通過一題多變等方式來實現。
　　例5.已知，如圖4，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別是E、F.求證：EC=DF.
　　變題：如圖5，當把CD向上移動，使其與直徑AB相交于⊙O內一點P，其它條件不變，問原結論還成立嗎？
　　四、設置概念定理題型，培養學生的逆向思維能力
　　對常規思維模式“反其道而行之”，這種不同尋常的思維方式突破了習慣思維的框架，克服了思維定勢的約束，符合思維的獨特性原則。教師如果能結合教材，設計一些超乎尋常、可作假象性推測的例題，不僅可以豐富學生的想象力，而且能拓寬學生的思路。
　　例6.已知y=（a-1）x是反比例函數，則它的圖像在（ ）
　　（A）第一、三象限（B）第二、四象限
　　（C）第一、二象限（D）第三、四象限
　　注：本例的關鍵是確定反比例函數的解析式。一般來說，學生習慣于根據事物特征運用定義推出事物具有哪些特征。由反比例函數的定義，可得a=-1，所以反比例函數的解析式是y=-，故選（B）。
　　五、設置一題多解，培養學生的求異思維能力
　　求異思維就是另辟蹊徑，提出不同意見的一種標新立異的思維活動，它是思維的動力。
cn3OAx+01fbXS0bu1juFfTpxW1Oax/Hj+48l6UptsV4=　　例7.求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于腰上的高.如圖6，已知：在△ABC中，AB=AC，D為BC上任意一點，DE⊥AB，DF⊥AC，EF分別是垂足，BG為AC邊上的高.
　　求證：DE+DF=BG.
　　注：本例是三條線段的和差問題。學生對此類問題習慣將三條線段化歸為兩條線段二用“截長補短”。如果教師善于將學生從定向思維中解脫出來，培養多角度多側面分析問題的習慣，則本題可有如下幾種新思路和新解法：面積法、利用相似三角形知識、利用直角三角形知識等。
　　六、設置數形結合題型，培養學生的形象思維能力
　　將代數問題轉換為相應的幾何問題，或者將幾何問題經恰當處理轉化為相應的代數問題，用相應的知識進行解決，這樣的數形轉換，既可以發展學生的形象思維能力，又是優化思維品質的有效途徑。
　　例8.當實數a為何值時，方程|x-4x+3|=a無解、有二解、三解、四解？
　　注：這是個含有絕對值符合的二次方程，如果去掉絕對值，再利用判別式來考查，必然很繁，如果令y=|x-4x+3|，y=a，這兩個函數圖像容易作出.而要確定方程|x-4x+3|=a的解的個數，從圖形上看，就是確定直線y=a與曲線y=|x-4x+3|的交點的個數，如果作出這兩個函數的圖像，由圖形立即可以得到：
　　當a＜0時，方程無解當a=0及a＞1時，方程有兩個實數解；
　　當a=1時，方程有3個實數解；
　　當0＜a＜1時，方程有4個實數解.
　　七、設置習題再現題型，培養學生的創造思維能力。
　　調查研究表明：創造力是后天培養和造就的。對學生而言，創造力主要是指思維的創造力。教學中應設置一些學生做過的題目，讓學生另辟蹊徑，尋找簡捷的方法，以達到培養學生創造思維能力的目的。
　　例9.如果一元二次方程ax+bx+c=0的兩個根之比為2∶3，求證：6b=25ac.
　　注：多數學生都是先求出方程的兩根：x=，再根據條件x∶x=2∶3進行化簡，這樣的計算非常繁雜，此時教師如果引導學生另辟蹊徑，尋找簡捷的方法，學生經過思考會得到：根據題意，可設兩根為x=2k，x=3k，利用韋達定理得;（2k）+（3k）=-，（2k）（3k）=，聯立兩式消去k，即可得到結論。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”