多元視角下的數(shù)學(xué)認(rèn)知

　　摘 要： 文章從關(guān)于數(shù)學(xué)的地位、對于數(shù)學(xué)的理解、對于數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識三方面分析數(shù)學(xué)認(rèn)知中存在的幾個誤區(qū)，使人們對數(shù)學(xué)有一個更正確、更全面的認(rèn)識。
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)認(rèn)知 認(rèn)知誤區(qū) 多元視角
　　
　　數(shù)學(xué)家外爾曾說：“除了天文學(xué)以外，數(shù)學(xué)是所有學(xué)科中最古老的一門科學(xué)?！睌?shù)學(xué)在促進(jìn)社會進(jìn)步、科學(xué)發(fā)展的同時也在不斷融入我們的生活，由此對數(shù)學(xué)有一個正確的認(rèn)知至關(guān)重要。本文從對數(shù)學(xué)的幾個認(rèn)知誤區(qū)談起，旨在讓大家對數(shù)學(xué)有一個更加正確、全面的認(rèn)識。
　　一、誤區(qū)一：關(guān)于數(shù)學(xué)的地位
　　數(shù)學(xué)是一門有著幾千年發(fā)展歷史的學(xué)科，人們通常認(rèn)為數(shù)學(xué)屬于自然科學(xué)的范疇，也常把數(shù)學(xué)和物理等一并歸入理科。事實上對于數(shù)學(xué)人們在不同時期有著不同的理解和認(rèn)知，數(shù)學(xué)的地位也在不斷變化著。
　　古希臘時期，亞里士多德把數(shù)學(xué)與物理、“形而上學(xué)”等一起置于理論哲學(xué)之中；中世紀(jì)，數(shù)學(xué)作為哲學(xué)的一個分支甚至被放在神學(xué)的名目之下；文藝復(fù)興時期，達(dá)朗貝爾將數(shù)學(xué)劃歸于自然科學(xué)之內(nèi)［３］。20世紀(jì)以后數(shù)學(xué)得到空前的發(fā)展，除自然科學(xué)（物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、航空學(xué)、地質(zhì)學(xué)、氣象學(xué)，等等）之外，數(shù)學(xué)還向各門人文社會科學(xué)滲透，如：經(jīng)濟(jì)學(xué)、語言學(xué)、人口統(tǒng)計學(xué)、管理科學(xué)、政治科學(xué)、心理學(xué)、社會學(xué)、歷史學(xué)、考古學(xué)，等等，應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展成為數(shù)學(xué)發(fā)展史上的第四個高峰。鑒于數(shù)學(xué)研究范圍的不斷擴(kuò)大，對于數(shù)學(xué)的地位就有了新的認(rèn)識。前蘇聯(lián)的茹科夫?qū)⒖茖W(xué)劃分為普遍科學(xué)（哲學(xué)、數(shù)學(xué)）、總體科學(xué)（一般系統(tǒng)論、控制論）、局部科學(xué)（物理、化學(xué)、生物等）；錢學(xué)森認(rèn)為科學(xué)應(yīng)分為自然科學(xué)、社會科學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、人體科學(xué)、思維科學(xué)；于光遠(yuǎn)認(rèn)為科學(xué)應(yīng)分為哲學(xué)、數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、社會科學(xué)、思維科學(xué)五類；而20世紀(jì)末期出版的《大不列顛學(xué)科全書》將知識學(xué)問作了如下分類：邏輯、數(shù)學(xué)、科學(xué)、歷史、人文科學(xué)和哲學(xué)［３］。
　　由此看出，長期以來把數(shù)學(xué)歸于自然科學(xué)的范疇是人們對于數(shù)學(xué)認(rèn)知的誤區(qū)之一，已不再適應(yīng)當(dāng)今數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢。鑒于數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用于眾多學(xué)科，滲透于人類社會發(fā)展的各個角落，數(shù)學(xué)已確立了其基于各門學(xué)科之上的獨立的科學(xué)地位。
　　二、誤區(qū)二：對于數(shù)學(xué)的理解
　　大眾對于數(shù)學(xué)的理解往往局限于中學(xué)所接觸的初等數(shù)學(xué)部分，關(guān)于算數(shù)、幾何等偏于應(yīng)用的部分，而對數(shù)學(xué)的本質(zhì)及研究內(nèi)容理解不夠。數(shù)學(xué)具有高度的理論指導(dǎo)價值和普遍適用的應(yīng)用價值，鑒于此，數(shù)學(xué)有純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)之分。
　　純粹數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域，大體上分為三大類：研究空間形式的幾何類、研究離散系統(tǒng)的代數(shù)類、研究連續(xù)現(xiàn)象的分析類。其涵蓋函數(shù)論、泛函分析、抽象代數(shù)、數(shù)論、集合論、代數(shù)幾何、微分方程論、數(shù)理邏輯、概率論、拓?fù)鋵W(xué)、微分幾s9UzoKif3Yg2Mrap1dqF5A==何等經(jīng)典學(xué)科。純粹數(shù)學(xué)經(jīng)歷了19世紀(jì)的不斷積累，在20世紀(jì)得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，顯示出了更高的抽象性和統(tǒng)一性。20世紀(jì)中葉以來隨著社會和科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)已經(jīng)向各個領(lǐng)域滲透，一方面與各領(lǐng)域相結(jié)合形成了眾多交叉學(xué)科；同時也產(chǎn)生了相對獨立的應(yīng)用學(xué)科，如數(shù)理統(tǒng)計、運籌學(xué)、控制論、計算數(shù)學(xué)等。
　　純粹數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)內(nèi)部問題，“它自身獨立的發(fā)展著，通常并不受來自外界的明顯影響，而只是借助于邏輯組合、一般化、特殊化，巧妙地對概念進(jìn)行分析和綜合，提出新的富有成果的問題，因而它自己就以一個真正提問者的身份出現(xiàn)?！保郏矗輵?yīng)用數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)在各領(lǐng)域的應(yīng)用問題，旨在利用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實問題，動力來自外部世界。人們對于數(shù)學(xué)的認(rèn)識多集中在數(shù)學(xué)的一些簡單應(yīng)用，而對數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域（純粹數(shù)學(xué)），以及數(shù)學(xué)的深度應(yīng)用并不了解，即不理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。
　　從客觀上講，這種理解上的誤區(qū)部分來自于數(shù)學(xué)的高度抽象性。一般來說，通過介紹人們并不難理解克隆、計算機(jī)、營銷、管理、機(jī)電原理等知識，但數(shù)學(xué)家們就連向人們陳述一個最為基本的數(shù)學(xué)概念（如數(shù)列極限的概念：設(shè){x}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時，不等式|x-a|＜ε都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列{x}的極限，或者稱數(shù)列{x}收斂于a），也很難被理解。數(shù)學(xué)的曲高和寡和孤芳自賞已經(jīng)成為人們對數(shù)學(xué)理解上的一道鴻溝，要改變這一現(xiàn)狀需要多方努力：（1）將高度抽象的數(shù)學(xué)知識通俗化向大眾普及；（2）大學(xué)階段重視高等數(shù)學(xué)（包括大學(xué)文科高等數(shù)學(xué)）的教育。
　　三、誤區(qū)三：對于“數(shù)學(xué)知識”的認(rèn)識
　　鑒于數(shù)學(xué)的高度抽象性，人們對于數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識和理解并不多。盡管如此，人們還是從各種渠道了解到一些數(shù)學(xué)知識，但對這些知識的理解卻是片面和錯誤的。下面舉幾個例子說明這種片面性和錯誤性。
　　（一）對于幾何的認(rèn)識
　　人們對于幾何的一般理解僅局限于建立在五大公設(shè)基礎(chǔ)之上的“歐氏幾何”，但歐幾里得第五公設(shè)（過已知直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行）并不像其它公設(shè)那樣顯然，數(shù)學(xué)家們努力用其它公設(shè)證明第五公設(shè)，但都以失敗而告終，從而使得歐氏幾何并不完美與正確。最先認(rèn)識到非歐幾何的是數(shù)學(xué)王子高斯，但限于自己的發(fā)現(xiàn)與當(dāng)時流行的康德空間哲學(xué)相抵觸，高斯的研究并未公開，后又經(jīng)過波約和羅巴切夫斯基的深入研究，創(chuàng)立了新的幾何學(xué)——非歐幾里得幾何學(xué)。這種“另類”的幾何學(xué)推翻了歐幾里得第五公設(shè)，以“通過直線外一點可以引不止一條而至少是兩條直線平行于已知直線”作為替代公設(shè)，推導(dǎo)出了邏輯上可能的無矛盾的非歐幾何。非歐幾何有著奇特的、難以理解的一些結(jié)果，比如三角形三內(nèi)角之和小于180度；假如三角形變大，使它所有三條高都無限增長，則它的三個內(nèi)角全部趨于零；等等。非歐幾何經(jīng)過黎曼的進(jìn)一步發(fā)展形成了一種更廣泛的幾何——黎曼幾何，黎曼幾何為愛因斯坦的廣義相對論提供了最恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表述，而根據(jù)廣義相對論所進(jìn)行的一系列天文觀測、實驗，也證實了宇宙流形的非歐幾里得性［４］。除此之外，射影幾何、微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)等新的幾何學(xué)也得到了空前的發(fā)展。
　　（二）著名的希臘問題（三等分角、倍立方、方圓）
　　三等分角問題為：給一個角，試求另一個角其大小為已知角的三分之一?；蛟S人們認(rèn)為這個問題并不困難，也確實有若干種方法可行。但人們往往并不了解這個古老問題的背景，古希臘人非常注重維護(hù)理性、純粹的精神，堅持尺規(guī)作圖的限制，即只能用直尺和圓規(guī)作圖。即便如此我們還是能舉出一些解法，但希臘人當(dāng)初還限制了規(guī)尺的用法，譬如說在直尺上標(biāo)兩點之后用來解題是不許可的。對此數(shù)學(xué)家已經(jīng)認(rèn)為不可能三等分一個角，不可能使圓變成方?；蛟S還是有人疑問這個問題到底有沒有解，這里我要說明的是，數(shù)學(xué)上的不可能是在嚴(yán)格的邏輯推導(dǎo)下得到的，并不表示這個問題解決的可能性比較小，而是絕對意義下的不可能。
　?。ㄈ└绲掳秃詹孪?br/>　　提到“哥德巴赫猜想”或許大家還比較陌生，但提到我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤研究的“1+1=2”問題，大家既熟悉又陌生。熟悉是因為大家很早就聽過這樣一個數(shù)學(xué)問題，并以中國數(shù)學(xué)家在這個問題上取得的巨大成績而感到驕傲；陌生是因為很多人并不真正地明白這個問題?！案绲掳秃詹孪搿笔菙?shù)論中的一個經(jīng)典問題，1742年德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫在給歐拉的一封信中寫道“我不相信關(guān)注那些雖沒有證明但很可能正確的命題是無用的，即使以后他們被驗證是錯誤的，也會對發(fā)現(xiàn)新的真理有益”，于是提出猜想：每個偶數(shù)是兩個素數(shù)之和；每個奇數(shù)是三個素數(shù)之和。這個問題提出以來，眾多數(shù)學(xué)家付出了艱辛的努力并取得了一系列顯著的成果。1937年維諾格拉多夫利用圓法證明了奇數(shù)部分的猜想。偶數(shù)部分的猜想主要利用篩法證明，