案例與實驗教學法在大學數學通識課教學中的應用

　　摘 要： 數學通識課是大學工科的公共基礎課，是培養學生思維、掌握數學基本理論和方法的重要課程。而傳統的數學教學存在的一個最主要的問題就是理論與實踐聯系不夠密切。為改變這種狀況，本文采用“案例與實驗”相結合的方法，通過利用數學計算機軟件，做到實踐與理論有機結合，從而培養工科大學學生的實踐能力與創新能力。
　　關鍵詞： 數學通識課 案例 數學實驗
　　
　　一、 引言
　　工科類數學教育是培養面向生產、管理、服務等第一線工作的高級技術應用型人才，工科類數學教育與專業數學教育有著根本的區別，工科類教育強調在所有的教學過程中必須注重學生能力的培養［１］。數學通識課作為高等學校重要的基礎課程，對學生后繼課程的學習和思維素質的培養起著重要的作用。這就要求數學教師在傳授數學知識的同時，更要注重培養學生分析問題、解決問題的能力，適當擴大知識面，使他們在思維、認識和學習方法上有根本的轉變。從目前大多教材與教法看，教學內容仍然未脫離數學專業的模式，注重結論的推斷和理論方法的研究。導致許多學生不明白開設數學這門課的真正目的，不知道學數學有什么用，甚至在學完該課程后還不知道如何用學過的知識解決實際問題。所以，我們有必要對工科數學教學內容和教學方法進行改革研討。本文結合一般本科工科院校的教學實際情況，提出了案例與實驗教學法。案例教學和數學實驗相結合是一種新穎的教學法，它將數學知識、數學建模與計算機應用三者融為一體。將數學建模的案例恰當地融入到數學通識課教學中，使學生了解數學模型，并且通過數學實驗使學生熟悉常用的數學軟件，培養學生運用所學知識建立數學模型，應用計算機解決數學問題的能力。
　　二、案例實驗教學的優勢
　　案例實驗教學法［２］是以實際工作中遇到的問題為背景，引導學生進行思考、總結、分析與互相討論，通過數學的理論和方法轉化為數學模型，然后運用數學軟件和計算機的手段解決問題。即從一個實際問題出發，來討論分析如何解決這個問題。每個問題的解決基本上是通過“問題的提出→建立數學模型→分析研討→計算機處理→小結與進一步思考”等幾個過程。
　　與傳統的教學法相比，案例實驗教學法有以下幾方面的優勢。
　　（1）案例可以把抽象的原理、概念等具體化，把它們置于一定的實際情境中，學生可以清楚地認識到這些原理、概念在實際生活中的用處和表現；
　　（2）案例實驗教學注重的是學生的創造能力與解決實際問題能力的培養，充分體現了學生的個體的自主性，加深了學生對數學知識的理解與掌握；
　　（3）案例實驗教學大大縮短了教學情境與實際生活情境的差距，還可以改變學生認為數學是紙上談兵的錯誤認識。
　　三、案例實驗教學在數學通識課教學中的實踐
　　大學數學通識課由多門數學課程組成，它的涉及面很廣，教學內容隨著學生的專業與方向不同而不同，案例選取時應舍去部分數學教材中純數學的例題，以激起學生的興趣和求知欲，強化他們的數學思維及數學應用意識，提高他們的專業能力。如：對機械學院的學生可引用圖解法和解析法設計盤形凸輪輪廓的例子。在講授函數的最值時，經濟學專業可選取最小投入、最大收益、利潤等典型例題，有條件的話，還可以讓學生課外調查物品進價、售價與銷售量的關系，尋找模擬函數，找出物品的最佳售價，等等。
　　我們在日常的教學中，將案例實驗教學法運用到《高等數學》、《線性代數》、《概率論與數理統計》三門公共基礎課中，具體實施如下。
　　1?郾案例實驗教學法在高等數學中的應用。
　　高等數學是最基礎并且是課時最多的一門課，這門課的內容較多，課程時間也較長，所以在合理安排好課時的基礎上，融入精心選好的案例，可以提高學生的學習興趣，以及應用數學知識解決實際問題的能力。比如在講解微分方程時，可以引入微分方程案例。
　　（1）問題。
　　傳染病高潮的來到是醫療衛生部門所關注的，可以通過改善保健設施、提高衛生水平推遲傳染病高潮的來到。因此，預測傳染病高潮的來到時刻十分必要，而預測此時刻的惟一方法就是根據實際問題建立方程，求解。
　　（2）問題分析與建立模型。
　　設時刻t的病人人數x（t）是連續的可微函數，并且每天每個病人有效接觸（足以使人致病的接觸）的人數為常數λ，考察t到t+Δt病人人數的增加，就有：
　　x（t+Δt）-x（t）=λx（t）Δ（t），再設t=0時有x個病人，即得微分方程=λx，x（0）=x。
　　（3）學生利用計算機計算，得出結論。
　　首先教師引導學生回憶學了哪些數學軟件知識，哪種軟件適合求解微分方程。這里，教師很自然地利用啟發式強調個體自主活動，將學生引入到數學實驗中去。學生選擇了軟件Maple，運用數學軟件Maple判斷它是變量可分離方程，并且用Maple來求其通解和其滿足初始條件的解。具體過程如下：先定義方程，利用語句odel:diff（x（t），t）=λx;回車后Maple輸出的結果為odel:=（x（t））=λx，接下來調入Maple解微分方程的軟件包，判斷所給方程是否為變量可分離方程，其指令為with（DEools）;odeadvisor（odel）;回車后Maple的輸出結果為［-Separable］，這表明上方程是變量可分離的，利用下面的指令都可以求方程的通解，dsolve（odel，x（t））;，回車后Maple的輸出結果為x（t）=Ce，得到方程的顯式通解。將初始條件代入，得到方程的特解x（t）=xe。
　　（4）小結與進一步思考。
　　在學生學完利用Maple軟件命令進行數值計算之后，教師在知識間的聯系上做了細致扎實的引導工作，既便于學生長時間記憶，又能激活將要學習的相關的新知識。
　　分析結果表明，隨著時間t的增加，病人人數x（t）無限增長，這顯然是不符合實際的。因為每天每個病人有效接觸的人數為常數，傳染病傳播后期，病人有效接觸的人群中，健康人少，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在新的模型中要區別這兩種人。這就進一步吸引學生去求解更為復雜的微分方程。
　　2?郾案例實驗教學法在線性代數中的應用。
　　線性代數是一門高度抽象的學科，學生普遍反映比較難學，由于這門課的特點，我們認為更有必要選擇一些案例應用于教學，比如可用矩陣知識破譯密碼，預測動物繁殖，計算交通流量，求解投入產出問題，用向量的定義和計算及多步決策理論可以解決怎樣安全過河問題，等等，以此來激發學生學習線性代數的熱情。
　　在線性代數課程中運用案例實驗教學法主要分為三步：第一步，講授基本概念、基本理論和基本計算方法，并布置課堂作業。第二步，上機實驗，用Matlab數學軟件求解本章的習題和課外做的習題，讓學生比較兩種方式做習題難易程度。一般計算機解題速度很快，而用筆解習題速度很慢。第三步，講授與教學內容有關的數學建模案例，對每個案例進行：（1）分析問題；（2）建立數學模型；（3）用計算機求解。講完案例后，再布置1-2大作業題讓學生自己模仿去做。例如：在講完矩陣和線性方程組的內容后，我們講授“工資問題的設計”，“交通流量問題“具體案例，讓學生清楚地意識到我們的身邊所發生的事情常常要用到數學知識和數學技能，在解決問題的過程中加強學生基礎實驗的訓練。
　　3?郾案例實驗教學法在概率論與數理統計中的應用。
　　概率統計是大學課程中的最重要的公共基礎課程之一，具有很強的應用背景。我們結合概率論與數理統計應用性較強的特點，在課堂教學中，還注意收集經濟生活中的實例，并根據各章節的內容選擇適當的案例服務于教學。比如：有趣的婚姻配對問題、生日問題、彩票的發行及購買問題、組合證券投資決策問題、平均值的質量控制圖、教育經費問題等應用實例，通過這些實例的閱讀和講解，將理論教學與實際案例有機的結合起來，縮短了數學理論和實際應用的距離，使學生確實感到數學有用。例如在講解中心極限定理時，可以引入學生最熟悉的生活案例。
　　打開水問題：某學校有5000名學生，每天傍晚打開水的人較多，開水房經常出現排長隊的現象，應增加多少個水龍頭才能解決這種現象？
　　分析：首先讓學生統計開水房現有多少水龍頭個數，再調查每個學生在傍晚一般有多少時間占用一個水龍頭（如2%），最后分析發現每個學生占用水龍頭是相互獨立的，引導學生聯想到中心極限定理，又考慮到每個人有兩種情況：占用水龍頭和不占用水龍頭，占用水龍頭的概率為0.02，所以學生是否占用水龍頭可以看作是一次獨立試驗。該問題就可以看作是n=5000的n重伯努利試驗，設用水龍頭學生數位x，x~B（5000，0.02），可以使用拉普拉斯中心極限定理及Matlab數學軟件解決此問題。
　　四、結語
　　總之，數學案例實驗教學法的實施無論從教學內容，還是從教學形式、教學方法和手段上講，都是對傳統數學教學模式的一種發展和補充，使數學教學更加開放和更具有活力，增強了數學教學的時代感。它也必將對數學教育改革起著積極的促進作用。
　　
　　參考文獻：
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　　［3］韓中庚.數學建模方法及其應用［M］.北京:高等教育出版社，2005.
　　［4］李繼玲，沈躍云.數學實驗基礎［M］.北京:清華大學出版社，2004.
　　［5］徐全智，楊晉浩.數學建模［M］.北京:高等教育出版社，2005.
　　
　　基金項目：淮陰工學院教育教學研究項目［2009］76號（JYC200929）。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”