導(dǎo)數(shù)考查的幾種方式

　　摘 要： 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用成為新課程的熱點，因此復(fù)習(xí)中要足夠重視，本文探討有關(guān)導(dǎo)數(shù)的考查方法，以增強復(fù)習(xí)的針對性。
　　關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù)概念 函數(shù)單調(diào)性 不等式 導(dǎo)數(shù)幾何意義
　　
　　一、識別函數(shù)圖像，考查導(dǎo)數(shù)概念及思想內(nèi)涵
　　函數(shù)圖像能直觀反映兩個變量之間變化關(guān)系，但其變化率的定量分析還依賴于導(dǎo)數(shù)計算，導(dǎo)數(shù)概念的建立使對平均變化率的粗略的認識提高到對瞬時變化率的精確認識.
　　例1：如圖，一個正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S（t）（S（0）=0），則導(dǎo)函數(shù)y=S′（t）的圖像大致為（?搖?搖?搖?搖）
　　二、考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系
　　導(dǎo)數(shù)為對函數(shù)單調(diào)性的研究提供了簡單，快捷，程序化的方法.
　　例2：設(shè)函數(shù)f（x）=x+bln（x+1），其中b≠0，當b＞時，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性.
　　解：由題意知，f（x）的定義域為（-1，+∞），f′（x）=2x+=.
　　設(shè)g（x）=2x-2x+b，其圖像的對稱軸為x=-∈（-1，+∞），
　　∴g（x）=g（-）=-+b，當b＞時，g（x）=-+b＞0，
　　即g（x）=2x+3x-b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
　　∴當x∈（-1，+∞）時，f′（x）＞0，
　　∴當b＞時，函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞增.
　　三、證明不等式，考查導(dǎo)數(shù)方法的靈活運用
　　把要證明的一元不等式通過構(gòu)造成函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，實現(xiàn)對不等式的證明.
　　例3：已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，求證：當x＞-1時，恒有1-≤ln（x+1）≤x.
　　分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)：
　　g（x）=ln（x+1）+-1，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明.
　　f′（x）=-1=-
　　∴當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（-1，0）上為增函數(shù)；當x＞0時，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（0，+∞）上為減函數(shù).
　　故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間（0，+∞）.
　　于是函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的最大值為f（x）=f（0）=0.因此，當x＞-1時，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0∴l(xiāng)n（x+1）≤x（右邊得證）.現(xiàn)證左邊，令g（x）=ln（x+1）+-1，則g′（x）=-=.
　　當x∈（-1，0）時，g′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，即g（x）在x∈（-1，0）上為減函數(shù)，在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，
　　故函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上的最小值為g（x）=g（0）=0，
　　∴當x＞-1時，g（x）≥g（0）=0，即ln（x+1）+-1≥0.
　　∴l(xiāng)n（x+1）≥1-.綜上可得，當x＞-1時，有-1≤ln（x+1）≤x.
　　四、解曲線切線的相關(guān)問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義
　　函數(shù)的某點的導(dǎo)數(shù)，其幾何意義是曲線在該點處切線的斜率.
　　例4：若曲線y=x在點（a，a）處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則a=（?搖?搖?搖?搖）
　　A.64 B.32 C.16 D.8
　?。劢馕觯輞′=-x，∴k=-a，切線方程是y-a=-a（x-a），令x=0，y=a，令y=0，x=3a，∴三角形的面積是s=?3a?a=18，解得a=64.故選A.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文