中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合問題

　　摘 要： 數(shù)量關(guān)系和空間圖形是初等數(shù)學(xué)研究的對象，因而數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換。在求函數(shù)的值域、最值問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理;而對于一些圖形的性質(zhì)，又可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當(dāng)表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系式，即可使幾何問題數(shù)量化，以數(shù)助形，用代數(shù)的方法使問題得以解決。數(shù)形結(jié)合思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，發(fā)揮數(shù)與形兩種信息的轉(zhuǎn)換及優(yōu)勢互補(bǔ)，能夠更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)直覺思維在數(shù)學(xué)思維中的地位。
　　關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合 代數(shù)問題 幾何圖形 代數(shù)方法 幾何問題
　　
　　1.數(shù)形結(jié)合的基本思想
　　數(shù)形結(jié)合法就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙得結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”尋找解題途徑，使問題得到解決.通過數(shù)形結(jié)合解題可以有針對性地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.在求函數(shù)的值域、最值問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理；對于一些圖形的性質(zhì)，可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當(dāng)表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系式，即可使幾何問題數(shù)量化，以數(shù)助形，用代數(shù)的方法使問題得以解決.數(shù)形結(jié)合思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化.
　　2.借助或構(gòu)造直觀圖來解決代數(shù)問題
　　在數(shù)學(xué)問題中，我們可以通過對圖形性質(zhì)的討論來直接反映函數(shù)、不等式，或看非常規(guī)問題中的變量之間的關(guān)系，有時(shí)還能通過圖形直觀啟迪解題思路.下面就從初等數(shù)學(xué)的角度，舉例說明如何借助或構(gòu)造直觀圖來解決代數(shù)問題.
　　2.1數(shù)形結(jié)合在函數(shù)解題中的運(yùn)用
　　例1.求函數(shù)y=+的最小值.
　　分析與解：該函數(shù)很復(fù)雜，直接用代數(shù)方法無法入手.觀察到函數(shù)配方后可得到式子y=+，聯(lián)想到兩點(diǎn)距離公式.設(shè)點(diǎn)P（x，0），A（1，2），B（-3，-4），則該函數(shù)的幾何意義為：動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到兩定點(diǎn)A（1，2），B（-3，-4）的距離之和.（如圖1）
　　所以y=|AP|+|PB|＞|AB|
　　（根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊）
　　即得y≥|AB|==，即y=.對于這個(gè)函數(shù)，若從代數(shù)方面入手十分復(fù)雜，且得不到解法.但是運(yùn)用代數(shù)表達(dá)式中所表示出的形聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，即馬上想到把代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何表達(dá)式，題目便容易了，且形象、直觀.
　　2.2數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用
　　2..2.1三角不等式中的數(shù)轉(zhuǎn)形問題
　　例2.若0＜a＜b＜，求證：＜＜.
　　證明：（i）如圖2在單位圓中作∠AOB=a，∠AOC=b.過B作圓O的切線，交OA的延長線于D；聯(lián)結(jié)CB并延長交OA的延長線于E.
　　在△COE和△BOE中，由正弦定理知=，=.
　　因?yàn)镺B=OC=1所以= ==1+.
　　又因?yàn)锽C＜弧BC=b-a，BE＞BD=tana＞a，
　　所以＜1+=.
　　又因?yàn)閠ana=AH，tanb=AD，所以===1+.
　　而BG＞BE=tan（a-b），BF=sina＜a，所以＞1+=.
　?。╥i）如圖3所示在單位圓中作∠AOB=a，∠AOC=b；過點(diǎn)A，B分別作圓O的切線，交OC的延長線于D，E；過點(diǎn)B作OA的垂線，分別交OA，OD于F，G；延長OB交AD于H.由（i）（ii）得＜＜.
　　注:對于與角的弧度有關(guān)的三角不等式，通?？蓱?yīng)單位圓中幾何圖形的性質(zhì)來證明.應(yīng)用幾何解三角問題的解法簡明，而且使解答或結(jié)論反映在幾何圖形上，形與式結(jié)合，直觀生動(dòng).
　　2.2.2數(shù)形結(jié)合在一般不等式證明中的應(yīng)用
　　例3.已知正數(shù)a，b，c，a，b，c滿足條件a+a=b+b=c+c=k，求證：ab+bc+ca＜k.
　　分析與解：此題通過構(gòu)造性思維可把a(bǔ)b，bc，ca看作三個(gè)矩形的面積。k可看作邊長為k的正方形的面積，從中構(gòu)造出下面的矩形，如圖4.
　　構(gòu)造邊長為k的正方形ABCD，且令DF=a，DG=AH=b，AG=BH=b，BF=c，CE=c，CF=a，并作出相應(yīng)的矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，由S＞S+S+S，就有了k＞ab+bc+ca.
　　從這個(gè)例題中可看出，有些數(shù)學(xué)問題可能是由一個(gè)幾何問題演變而來，但它因脫去了幾何外衣而成為抽象的代數(shù)問題.如果能夠根據(jù)題目特點(diǎn)，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，就會(huì)使問題形象、直觀，解題方法簡潔、巧妙.
　　3.用代數(shù)的方法解決幾何問題
　　3.1用解析法解決幾何問題
　　在傳統(tǒng)的幾何教育中，主要使用“形到形”的性質(zhì)的推理來學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，并培養(yǎng)邏輯思維能力.但是，使用“形到形”的性質(zhì)的推理學(xué)習(xí)幾何知識(shí)對大部分人來說是比較困難的.但有些幾何問題使用解析法就很容易得到解決.借助坐標(biāo)系，應(yīng)用代數(shù)方法研究解決數(shù)學(xué)問題的方法稱為解析法.解析法通常用以研究幾何圖形的性質(zhì)，因此，平面幾何的許多問題都可以用解析法來解決.而且有些平面問題用解析法要比用幾何法方便，且具有一般性.解析法也可以用來解某些代數(shù)、三角問題.這里舉例說明解析法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.
　　例4.過圓O上任意兩點(diǎn)P，Q的切線相交于點(diǎn)T，聯(lián)結(jié)PQ，作直徑AB平行PQ，直徑CD垂直于PQ，聯(lián)結(jié)BP，AP分別相交于直徑CD或其延長線與S，R，求證：RT=ST.
　　證明：如圖5，建立直角坐標(biāo)系.
　　設(shè)圓的半徑為1，則A（0，1），B（0，-1）.
　　設(shè)p（cosq，sinq），則PT的方程為xcosq+ysinq-1=0.
　　令y=0，得T點(diǎn)的橫標(biāo)為x=，所以，T點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），
　　PA的方程為x（1-sinq）+ycosq-cosq=0.
　　令y=0，得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為x=，所以，R點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）.
　　說明:用解析法證明三點(diǎn)共線，也可以分別求過兩點(diǎn)的直線斜率，由斜率相等可判定三點(diǎn)共線;還可以用面積行列式的值為零來判定.本例是特殊情況，由y坐標(biāo)相等，即可得到三點(diǎn)必在平行x的直線上.
　　3.2用向量的方法解決幾何問題
　　在新編的全日制普通高級中學(xué)教材中引進(jìn)了空間向量及其運(yùn)算，這不僅豐富了立體幾何的內(nèi)容，而且強(qiáng)化了“數(shù)形結(jié)合”的思想，并在教科書中積極引導(dǎo)學(xué)生使用向量代數(shù)方法解立體幾何問題.向量運(yùn)算體系與算術(shù)、代數(shù)運(yùn)算體系基本相似，解題時(shí)可運(yùn)用我們熟悉的代數(shù)方法進(jìn)行推理，掌握空間圖形的性質(zhì)，空間向量為解決立體幾何中某些用傳統(tǒng)純幾何方法解決時(shí)，技巧性較大，隨機(jī)性較強(qiáng)的問題提供了一些通法，以降低解題難度.在這里，通過一道題目的解法，體會(huì)空間向量方法的獨(dú)特和簡便.
　　例5.如圖6所示，在正三棱柱ABC-ABC中，AB⊥AC，AB=a，求這個(gè)正三棱柱的體積.
　　解：因?yàn)槔庵鵄BC-ABC為正三棱柱，所以作BO⊥AC，O為垂足，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB為x，y軸的正半軸，過O作z軸的正半軸平行于CC，建立如圖7的直角坐標(biāo)系.則AB=a，設(shè)CC=h，由圖7可得如下坐標(biāo)C（-，0，h），A（，0，0），A（，0，h），B（0，，0），故=（-a，0，h），=（-，，-h）
　　因?yàn)锳B⊥AC，所以?=0，即（-a，0，h）?（-，，-h）=-h=0，h=a，所以V=??a=a.
　　注意：（1）為了使相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)便于計(jì)算和證明，必須分析空間幾何體的構(gòu)造特點(diǎn)，選取合適的空間直角坐標(biāo)系（合適的點(diǎn)作原點(diǎn)，合適的線和方向作坐標(biāo)軸）.（2）解題步驟：建立空間坐標(biāo)系→相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)→向量的坐標(biāo)→平行、垂直關(guān)系→幾何結(jié)論.
　　4.兩點(diǎn)啟示
　　4.1數(shù)形應(yīng)結(jié)合
　　從上面的幾個(gè)例子中我們看到了數(shù)形結(jié)合的奇妙轉(zhuǎn)化.數(shù)學(xué)的發(fā)展也是以數(shù)與形著兩個(gè)基本概念為主線.當(dāng)然我們也認(rèn)識(shí)到坐標(biāo)系的建立，實(shí)現(xiàn)了幾何空間的數(shù)量化，不僅使幾何與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，也為數(shù)形結(jié)合觀點(diǎn)的形成與應(yīng)用開辟了一條康莊大道.數(shù)與形是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體，也抓住了數(shù)學(xué)解題通道的一個(gè)大動(dòng)脈.同時(shí)關(guān)注數(shù)與形，自覺、主動(dòng)的運(yùn)用幾何方法嘗試解代數(shù)題，十分有利于形成優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使這個(gè)結(jié)構(gòu)更具整體性、準(zhǔn)確性和連通性，體現(xiàn)了數(shù)與形的優(yōu)勢互補(bǔ).
　　4.2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題需積累
　　無論學(xué)習(xí)任何知識(shí)都應(yīng)經(jīng)過積累方可運(yùn)用自如，數(shù)學(xué)知識(shí)也不例外.在數(shù)學(xué)問題中，涉及數(shù)形結(jié)合法的運(yùn)用都會(huì)相關(guān)到其他的很多知識(shí)，如果要對數(shù)形結(jié)合法運(yùn)用自如，那么對于涉及的具體操作和基本功必須有所積累.從上面的幾個(gè)例子中我們知道的經(jīng)驗(yàn)有:運(yùn)用坐標(biāo)系、轉(zhuǎn)化、幾何圖形的構(gòu)造.并且我們也知道，數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化途徑不是唯一的，也就是說數(shù)形結(jié)合是一個(gè)需要探索積累并且永遠(yuǎn)也探索不完的課題.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文