淺析模型化思想在數學教學中的滲透

　　數學教學的奧妙就在于如何引導學生發現問題、提出問題、解決問題、歸納問題，其核心不是教會學生幾道題，而是教給學生終生受用的活的知識——數學思想和方法.
　　近年來，數學教學中都在倡導一種數學思想——數學模型化.它的推廣極大地豐富了學生的思維，為了數學教學改革提供了一條新的有效的途徑.下面我就通過幾道題的教學，談談滲透數學模型化思想的做法和體會.
　　一、細研大綱，深挖教材，發掘共性，歸納模型
　　全日制義務教育初中數學課本中蘊涵著許多基礎而又重要的數學思想和方法，數學老師必須細研大綱，根據大綱的要求去深挖教材，引導學生發掘和運用蘊涵課本內容之中的數學思想和方法，引導學生透過不同的表面現象，發現問題中共存的本質屬性，歸納出規律性的東西——數學模型，從而指導數學學習.由教一題到教一法，由曉一處到明一路.正如古人所云：“授人以魚，可供一飯之需；授人以漁，則終生受用。”
　　例1：求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.
　　已知：如圖1，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD平行于BC.求證：AB=CA.
　　講完這道題之后，讓學生回頭觀察分析.
　　片刻，讓一學生板演.
　　例2：已知：如圖2，AD平行于BC，BD平分∠ABC，求證：AB=AD.
　　講評之后指出：這兩道題確實比較平常，在平常的現象背后往往隱藏著不平常的東西，需要我們去探究，去發現，去總結.如果對這兩道題認真地做一下比較和分析，在課堂上也提問了部分學生，學生也不難發現其中隱含的這兩題的共性：“已知條件都是角平分線和平行線，結論都是要求證的是等腰三角形.”通過這兩題共性的揭示，慢慢引導學生歸納出“角平分線+平行線等腰三角形”的數學模型.
　　例3：如圖3：∠ABC，∠ACB的平分線相交于點F，過F作DE平行于BC，交AB于D，交AC于E.求證：BD+EC=DE.
　　當課堂上講解這個例題的時候，就很快有同學給出思路：由已知想到上面的數學模型，得到BD=FD，EF=FC，因而得證.
　　正是由于模型化思想的滲透，才使得學生可以輕松地找到了思維的起點，避開了證明含求和線段的常規復雜的方法.
　　二、探討變式，求活推新
　　數學模型是一種模型化的數學思想，它與教學采用的實物模型有著本質的區別.因此不能像實物模型那樣生搬硬套，要在活用上下工夫.“數學就像萬花筒，變是數學的重要特征”，只有活用數學模型，才能“以不變應萬變”.“如果把例1的條件和結論作如下變換：①若∠1=∠2，AB=AC，求證：AD平行于BC；②若AB=AC，AD平行于BC，求證：∠1=∠2.其結論是否成立呢？”
　　在課堂上我也做了嘗試，學生熱情高漲，并得出以下數學模型：“角平分線+等腰三角形→平行線”；“等腰三角形+平行線→角平分線”.對以上幾個數學模型進一步歸納分析易得出新的數學模型：角平行線、平行線、等腰三角形中，若任取二者為條件，則可得：“第三者”的結論.把三個模型化為一個模型體現了簡化相關教學內容的特點.
　　三、聯想拓展，形成體系
　　《九年義務教育初中數學教學大綱》指出：“學生在不同的階段多獲得的知識往往是局部的……把各個局部的知識按照某種特點和方法組織成整體.才便于存儲、提取和應用.”模型化思想亦是如此，不能只限定在某一局部，應有拓展意識，力爭形成模型化的思想體系，聯想上面模型的歸納過程，在課本平面幾何的教學中又歸納出以下數學模型，從而形成了平面幾何模型的系列輪廓：
　　①角平分線、垂線、等腰三角形中任取二者為條件，則可得“第三者”的結論.
　　例4：已知：如圖4，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高.求證：AD垂直平分EF.
　　分析：運用以上數學模型很快可證得AE=AF，又因AD平分∠BAC，故可得AD垂直平分EF.
　　②“翻折→角平分線+全等三角形”；“翻折+平行→等腰三角形+全等三角形”.
　　例5：折疊長方形的一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.
　　分析：由模型可得，∠1=∠2，△ADE?艿△AFE，運用勾股定理，建立方程可解之.
　　例6：把一張對邊平行的紙條（四邊形）如圖6那樣折疊，重合部分（△BDE是一個等腰三角形），求證：BE=DE.
　　分析：由模型得△BCD?艿△BFD，∠1=∠2，可得∠1=∠3，，從而BE=DE.
　　在教學中脈絡分明地滲透這些數學思想，學生就會學更輕松，課堂更能煥發生命的活力.讓學生掌握一定的數學思想方法，既是大綱的要求、教材的啟示，又是完成素質教育重任的需要.只要我們細研大綱、深挖教材、揭示思想、求活推新，就能收到較好的教學效果.