一道調研題的多角度思考

　　摘 要： 本文通過對一道調研試題不通角度的剖析，闡述了平面向量在高中立體幾何教學中的地位，以及平面向量作為工具的多樣性。
　　關鍵詞： 調研題 二面角 向量
　　
　　武漢市2010屆高中畢業生四月調研測試理科數學第18題:在直三棱柱ABC-ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，側棱AA=，M、N分別為棱AA、BC的中點，點P在邊AB上，且AP=2PB.
　　（1）求證：MN⊥AP；（2）求二面角M-AN-P的正切值.
　　對于第②問中的二面角問題，我們可從多個角度加以思考.
　　方案一：取BC的中點D，連接DN，DA，過點P作PE⊥AD于點E.過E作EF⊥AN于F，連接PF.
　　由三垂線定理知：∠PFE為二面角M-AN-P的平面角.在△ABD中，cos∠BAD==.在Rt△PEA中，PE=AP?sin∠BAD=，故tan∠PFE==.
　　故二面角M-AN-P的正切值為.
　　方案二：取BC的中點D，連接DN、DA，過點P作PE⊥AD于點E.設α是二面角M-AN-P的平面角，△EAN底邊AN上的高為h，△PAN底邊AN上的高為h，可知cosα==.在長度都已知的情況下，容易計算得cosα=，故tanα=.
　　即二面角M-AN-P的正切值為.
　　方案三：如圖，以C點為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC為z軸建立空間直角坐標系.
　　A（1，0，），N（0，，），M（1，0，）.
　　P（，，0），則=（-1，，0），=（0，0，-），=（-，，-）.
　　設=（x，y，z）是平面AMN的一個法向量.則?=0??圯-x+y=0-z=0，令y=2，得：n=（1，2，0）.
　　設=（x，y，z）是平面APN的一個法向量.則?=0?=0?圯-x+y=0-x+y-z=0，令y=2，得：=（1，2，），cos＜，＞===，由此可得tanα=.
　　即二面角M-AN-P的正切值為.
　　方案三圖
　　方案四：過P點作PQ垂直于AN于點Q，設Q（x，y，z），=（x-，y-，z），PQ⊥AN可得：?=0……（1）
　　A、Q、N三點共線可得：=t+（1-t）……（2）
　　由（1）得-x+y=0……（3）
　　由（2）得x-=-+ty-=--tz=……（4）
　　將（4）代入（3）得：t=，可得=（-，-，），易知與所成的角為二面角M-AN-P的平面角.
　　cos＜MA，PQ＞===，得tan＜，＞=，即二面角M-AN-P的正切值為.
　　方案四圖
　　方案五：由圖可得：=++，==，||=，||=，||=，
　　=（++）=+++?.
　　即可得：
　　=+++×cos＜?＞，得cos＜?＞=-，tan＜，＞=-，知與所成的角為二面角平面角的補角，由此可得二面角M-AN-P的正切值為.
　　方案五圖
　　一題多解并不是教學追求的終極目標，但是在一題多解的過程中能提高學生分析問題、解決問題的能力，使得對知識點能融會貫通，最終達到提高解題能力的目的.