論函數的一致連續

　　摘 要： 在數學分析中，關于函數一致連續問題的理解與應用是理解數學中其他知識的基礎，但目前各種教材對這類問題提出和總結得不夠，廣大數學愛好者很難對其有全面清晰的認識.為了加深對一致連續問題的認識，本文從一致連續的概念出發，總結了一致連續的條件、運算性質。
　　關鍵詞： 函數 一致連續 概念 條件 運算性質
　　
　　1.一致連續及其相關概念
　　定義1 設f（x）在區間I上有定義，稱函數f（x）在區間I上連續是指，x∈I，ε＞0，δ＞0，當x∈I且x-x＜δ時，有f（x）-f（x）＜ε.
　　定義2 設f（x）在區間I上有定義，稱函數f（x）在區間I上一致連續是指，對ε＞0，δ＞0（其中δ與ε對應而與x，y無關），使得對區間I上任意兩點x，y，只要x-y＜δ，就有f（x）-f（y）＜ε.
　　定義3 設f（x）在區間I有定義，稱函數f（x）在區間I上不一致連續是指，至少一個ε＞0，對δ＞0，都可以找到x′，x″∈I，滿足|x′-x″|＜δ，但|f（x′）-f（x″）|≥ε.
　　評注1：比較函數在區間上的連續性與一致連續性的定義知，連續性的δ不僅與ε有關，而且與x有關，即對于不同的x，一般說來δ是不同的.這表明只要函數在區間上的每一點處都連續，函數就在這一區間上連續.而一致連續的δ僅與ε有關，與x無關，即對于不同的x，δ是相同的，這表明函數在區間上的一致連續性，不僅要求函數在這一區間上的每一點處都連續，而且要求函數在這一區間上的連續是處處一致的.
　　在區間I上一致連續的函數在該區間I上一定是連續的，反之，在I上連續的函數在該I上不一定是一致連續的.
　　評注2：一致連續的實質，就是當這個區間的任意兩個彼此充分靠近的點上的值之差（就絕對值來說）可以任意小.
　　用定義證明f（x）在I上一致連續，通常的方法是設法證明f（x）在I上滿足Lipschitz條件|f（x′）-f（x″）|≤L|x′-x″|，x′，x″∈I，其中L為某一常數，此條件必成立.特別地，若（x）在I上是有界函數，則f（x）在I上Lipschitz條件成立.
　　2.一致連續的條件及有關結論
　　2.1一致連續的條件
　　定理1（G?康托定理）若函數f（x）在區間［a，b］上連續，則它在這個區間上也是一致連續的.
　　證明要證的是對于任意給定了的ε＞0，可以分區間［a，b］成有限多個小段，使得f（x）在每一小段上任意兩點的函數值之差都小于ε，以下用反證法證之，若上述事實不成立，則至少對于某一個x＞0而言，區間［a，b］不能按上述要求分成有限多個小段.將［a，b］二等分為［a，c］、［c，b］，則二者之中至少有一個不能按上述要求分為有限多個小段，把它記為［a，b］.再將［a，b］二等分為［a，b］、［c，b］，依同樣的方法取定其一，記為［a，b］.如此繼續下去，就得到一個閉區間套［a，b］，n=1，2，…，由區間套定理知，唯一的點c屬于所有這些閉區間.因為c∈［a，b］，所以f（x）在點x=c連續，于是可找到δ＞0，使|x-c|＜δ（x∈［a，b］）時，|f（x）-f（c）|＜ε/2.
　　注意到c==我們可取充分大的k，使|a-c|＜δ，|b-c|＜δ，從而對于［a，b］上任意點x，都有|x-c|＜δ，因此，對于［a，b］上的任意兩點x，x都有|f（x）-f（x）|≤|f（x）-f（c）+f（c）-f（x）|＜+=ε.
　　這表明［a，b］能按要求那樣分為有限多個小段（其實在整個［a，b］上任意兩點的函數值之差已小于ε了），這是和區間［a，b］的定義矛盾的，這個矛盾表明我們在開始時所作的反證假設是不正確的，從而定理的結論正確.
　　評注3：定理1對開區間不成立.例如函數f（x）=在（0，1）的每一個點都連續，但在該區間并不一致連續.事實上，對于任意小的δ＞0，令x=δ，x=2δ，則|x-x|=δ，而|f（x）-f（x）|=-=，這時|x-x|可以任意小，但|f（x）-f（x）|可以任意大.函數f（x）=tanx在（-，）也有類似的情形.以上兩例討論的都是無界函數，而sin在（0，1）內的每一點都連續，且顯然在這個區間內有界，然而它也沒有一致連續性，因為有任意小（因而也就彼此任意接近）的數x與x存在，使sin=1，sin=-1.
　　定理2 f（x）在區間I上一致連續的充要條件是在區間I上滿足（x-y）=0的任意兩數列{x}、{y}，必有［f（x）-f（y）］=0.
　　證明：必要性.若f（x）在I上一致連續，由一致連續性的定義，?坌ε＞0，?堝δ＞0，當|x-y|＜δ時，|f（x）-f（y）|＜ε，即任兩數列{x}、{y}，當n→∞時，|x-y|→0，則必有|f（x）-f（y）|→0.
　　充分性.用反證法，若兩數列{x}、{y}，當n→∞時，|x-y|→0，|f（x）-f（y）|→0而f（x）在I上不一致連續，那么一定?堝ε＞0，對?坌δ＞0，存在x，y，當|x-y|＜δ時，|f（x）-f（y）|≥ε0，取δ→0，我們得到兩數列{x}、{y}，當n→∞時，x-y→0，但|f（x）-f（y）|≥ε，這與假設［f（x）-f（y）］=0矛盾.
　　評注4：定理2所述的必要性常被用來判定一個函數是不是一致連續的.
　　例如，函數f（x）=sin，在區間（0，1）上是連續的且有界，但在此區間上并非一致連續.事實上，當x≠0時，由基本初等函數在其有定義的區間上連續知，f（x）是連續的，同時，由于|f（x）|≤1，因而它也是有界的.現考慮（0，1）上的兩串數列x=，x′=，則當0＜ε＜1時，不論δ＞0取得多么小，只要n充分大，總可以使|x-x′|=＜δ，但是|f（x）-f（x′）|=1＞ε，因而f（x）在（0，1）上并非一致連續.
　　定理3 設f（x）在有限區間I上有定義，那么f（x）在I上一致連續的充要條件是對任意柯西（Cauchy）列{x}I，{f（x）}R′也是Cauchy列.
　　證明：必要性.因f（x）一致連續，即對ε＞0，δ＞0，對x′，x″∈I，只要|x′-x″|＜δ，就有|f（x′）-f（x″）|＜ε.設{x}I為Cauchy列，于是對上面的δ＞0，必N＞0，使當n，m＞N時，有|f（x）-f（x）|＜ε，即{f（x）}是Cauchy列.
　　充分性.若不然，必ε＞0，x′，x″∈I，雖然x′-x″＜，但是|f（x′）-f（x″）|≥ε，由{x′}有界知，存在收劍子列{x′}，從而{x″}也收劍于同一點，顯然x″，x″，x″，…，是Cauchy列，但是f（x″），f（x″），f（x″），…，不是Cauchy列，此為矛盾，故f（x）在I上一致連續.
　　定理4 設f（x）在有限區間（a，b）上連續，則f（x）在（a，b）上一致連續的充要條件是f（a+0）、f（b-0）存在且有限.
　　證明：充分性.令F（x）=f（a+0）（x=a），f（x）（x∈（a，b）），f（b-0）（x=b），則F（x）∈C［a，b］，因此F（x）在［a，b］上一致連續，從而f（x）在（a，b）上一致連續.
　　必要性.已知f（x）在（a，b）上一致連續，所以對于ε＞0，δ＞0，當x′，x″∈（a，b）且|x′-x″|＜δ時，|f（x′）-f（x″）|＜ε成立.對端點a，當x′，x″滿足0＜x′-a＜，0＜x″-a＜時，就有|x′-x″|≤|x′-a|+|x″-a|＜δ，于是|f（x′）-f（x″）|＜ε.由Cauchy收斂準則，f（a+0）存在且有限，同理可證f（b-0）存在且有限.
　　
　　評注5：（1）當（a，b）為無窮區間，本例中條件是f（x）在（a，b）上一致連續條件充分但不必要.例如f（x）=x，Φ（x）=sinx，x∈（-∞，+∞）及g（x）=，x∈（0，+∞）均為所給區間上的一致連續函數，但f（-∞）=-∞，f（+∞）=g（+∞）=+∞，Φ（+∞）和Φ（-∞）不存在.
　　（2）定理提供了一個判斷函數一致連續性簡單而有效的方法.
　　例如，研究下列函數在所示區間上的一致連續性.
　　（i）f（x）=（0＜x＜π）;（ii）f（x）=ecos（0＜x＜1）.
　　解：（i）因為=1，=0，所以f（x）在（0，π）內一致連續.（ii）因為cosx不存在，所以f（x）在（0，1）內不一致連續.
　　（3）由定理知，若f（x）∈C（a，b），則f（x）可連續延拓到［a，b］上的充要條件是f（x）在（a，b）上一致連續.
　　定理5 f（x）在區間I上一致連續的充要條件是，對ε＞0及x，y∈I，總正數N，使|f（x）-f（y）|＞N|x-y|+rhxZcs+QtIoVDQi/f0ZBw==（1）.恒有|f（x）-f（y）|＜ε（2）.
　　證明：因為f（x）在I上一致連續的定義等價于：對?坌ε＞0，?堝δ＞0，使得對于?坌x，y∈I，如果|f（x）-f（y）|≥ε（3），就有|x-y|≥δ.而題設條件為對ε＞0，N＞0，對x，y∈I，當不等式（3）成立時，|f（x）-f（y）|≤N|x-y|（4）
　　充分性.若題設中條件成立，則由（4）式得|x-y|≥|f（x）-f（y）|，再由（3）式得|x-y|≥，所以對給定的ε＞0，只要取δ=，當x，y∈I，且滿足（3）時，就有|x-y|≥δ成立.
　　必要性.若f（x）在I上一致連續，則對任給的ε＞0，存在δ＞0，使當x，y∈I，且滿足不等式（3）時，就有不等式|x-y|≥δ成立，故整數k，使得kδ≤|x-y|≤（k+1）δ.（5）不妨設x＜y，將［x，y］分成k+1等分，記x-1（i=1，…，k+1）為其分點，由（5）式知|x-x|=||＜δ，故|f（x）-f（x）|＜ε，i=1，2，…，k+1，||≤|f（x）-f（x）|/kδ＜＜令N=［］+1，則當I中的點x，y使（3）式成立時，必有（4）式成立，從而（1）式成立時，有（2）式成立.
　　評注6：本定理的證明是靈活運用一致連續定義的典范，它在理論研究上具有一定的意義.
　　2.2一致連續函數的運算性質
　　一致連續函數有一系列的運算性質，歸結如下幾個命題.
　　命題1：設Φ（x）與ψ（x）在區間I上一致連續，則αΦ（x）+βψ（x）在I上一致連續（α，β為任意常數）.
　　命題2：設Φ（x），ψ（x）在有限區間I上一致連續，那么ψ（x）ψ（x）在I上也一致連續.
　　命題3：設Φ（x），ψ（x）在無限區間I上一致連續且有界，那么Φ（x）ψ（x）在I上也一致連續.
　　其中“有界”的條件不可少，例如f（x）=x在（-∞，+∞）上一致連續，但無界，而f（x）?f（x）=x在（-∞，+∞）上不一致連續.
　　命題4設Φ（x）在區間I上一致連續且infF（x）＞0，那么在I上也一致連續.
　　最后應指出，一致連續函數的反函數，一般說來，不再一致連續，例如f（x）=在（0，+∞）上一致連續而它的反函數f（x）=x在（0，+∞）內不一致連續，但可以證明在有限區間上，結論為真.
　　
　　參考文獻：
　　［1］斐禮文.數學分析中的典型問題與方法［M］.北京：高等教育出版社，1993：93-103.
　　［2］王向東.數學分析中的概念與方法［M］.上海：科學技術文獻出版社，1989：278-299.
　　［3］周家云，劉一鳴.數學分析的方法［M］.濟南：山東教育出版社，1991：48-62.