由斐波那契數列看數學的內在聯系

　　摘 要： 斐波納契數列在現代物理、準晶體結構、化學等領域都有直接的應用，這個數列既是數學美的完美體現，又與許多數學概念有著密切的聯系，很多看上去似乎彼此獨立的數學概念，通過斐波那契數列，人們發現了其中的數學聯系，從而進一步激發了人們探索數學的興趣，對數學的認知更加系統化。
　　關鍵詞： 斐波那契數列 數學內在聯系 三角形
　　
　　1.引言
　　許多數學分支從表面上來看似乎是相互獨立，沒有聯系的，但只要仔細觀察就能發現其中一些明顯的聯系，而發現和正確把握這些聯系，能激發學生學習數學的興趣，有助于學生產生一些數學聯想，激發學生探求數學奧秘的欲望，構建系統的數學知識網。
　　斐波那契數列、楊輝三角、黃金分割、二項式定理、三角形三邊關系定理……這些看似相對獨立的概念，通過斐波那契數列，能夠建立完美的數學知識網絡。
　　2.由斐波那契數列構建數學聯系
　　斐波那契數列是由數學家列昂納多?斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1240）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年能繁殖多少兔子？我們不妨拿一對新出生的小兔子為例分析一下：成熟的一對兔子用記號表示，未成熟的用○表示。每一對成熟的兔子經過一個月變成本身的及新生的未成熟○。未成熟的一對○經過一個月變成成熟的，不過沒有出生新兔，這樣便可畫出圖1，可以看出六個月兔子的對數是1，2，3，5，8，13。很容易發現這個數列的特點：即從第三項起，每一項都等于前兩項之和。所以按這個規律寫下去，便可得出一年內兔子繁殖的對數：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。可見一年內兔子共有233對。
　　上述例子中得到的每個月的兔子對數1，1，2，3，5，8……構成了一個數列，這個數列有十分明顯的特點：從第三項開始，前面相鄰兩項之和構成了后一項，這個數列就是意大利中世紀數學家斐波那契在《算盤全書》（Liber Abaci）中提出的，該數列的通項為：
　　a=1，a=1，a=a+a（n≥3）
　　2.1斐波那契數列、楊輝三角和二項展開式的聯系
　　2.1.1斐波那契數列和楊輝三角的聯系
　　楊輝三角也叫賈憲三角，在國外被稱為帕斯卡三角。它有以下特點：
　　（1）每行數字左右對稱。
　　（2）每個數字等于上一行的左右兩個數字之和。（圖2）
　　從楊輝三角的第一行的1向左下方作的斜線，之后作直線的平行線，將每條直線所過的數加起來（如圖3），得：
　　把得到的這些數字組成一個數列：1，1，2，3，5，8……就是斐波那契數列。
　　2.1.2楊輝三角和二項展開式系數的聯系
　　楊輝三角中的每個數其實都是組合數，第n行r+1個數是C=，對于更大的組合，就楊輝三角而言，只不過是乏味的延伸，但它卻能應用于二項展開式，其中包含了二項展開式（a+b）的系數。比如，要找出（a+b）的各項的系數，只要看對應的楊輝三角的第5行，從該行中，我們可以找到1，4，6，4，1，這正是我們要找的系數，即：（a+b）=1a+4ab+6ab+4ab+b。所以，楊輝三角的各行也可以寫成：
　　2.2斐波那契數列與黃金分割的聯系
　　對于斐波那契數列來講，它的特征是:a=1，a=1，a=a+a（n≥3），后人通過迭代法求出其通項為：a=-，正整數數列居然可以用無理數來表示，這是一個驚人的結果，我們用該數列的后項除以前項，組成一個新的數列，即：b=，b=，b=，b=，b=，…，b=，…，即：1，2，1.5，1.6，1.625，…，該數列的每一項或稍大或稍小于黃金平均值，事實上，該數列的極限為（-1）≈1.618，這便與幾何學的珍寶“黃金分割”聯系起來，這也是黃金矩形的比，這種聯系暗示了在哪里出現黃金比或黃金矩形，哪里就會出現斐波那契數列，反之亦然。
　　2.3斐波那契數列與三角形三邊關系定理的聯系
　　我們通過一個例子來簡述斐波那契數列與三角形三邊關系定理的聯系。
　　例：現有長為144cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），且每段的長度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少？
　　分析：根據三角形三邊關系定理，要構成一個三角形的充要條件是兩邊之和大于第三邊，所以不能拼成三角形的充要條件是任意兩邊之和應大于或者小于第三邊。由于題目要求每段的長度不能小于1cm，因此根據題目要求可以先截取2個1cm的鐵絲，為了不拼成三角形，所以第三段截取2cm（為了使最大，所以要使剩下的鐵絲盡可能長，后面截取的每一段總是前面相鄰兩段之和）。以此類推，依次截取的長度為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，這些數字為斐波那契數列的前10項，和為143，與144相差1，因此最后一段可以截取56cm，這時達到最大為10。
　　我們看到題目中的一個條件“每段的長度不小于1cm”起到了關鍵的作用，正是這個條件產生了斐波那契數列，也正是這個條件使得三角形三邊關系定理與斐波那契數列產生了聯系。
　　3.關于數學內在聯系的幾點思考
　　3.1知識之間總是上下溝通的，互相聯系的，要使知識系統化、完整化，就必須在學生的頭腦中建立一個完整的認識結構，學生學習掌握新知識，都是建立在已經掌握的舊知識的基礎上。因此把握好數學知識之間的內在聯系，可以使學生在學習過程中產生正遷移，把已掌握的某些知識準確、靈活地運用到學習新知識或者解決新問題的過程中去，以收到觸類旁通、舉一反三的效果。
　　3.2數學知識之間的內在聯系也體現了數學文化。每個民族都有自己的文化，也就一定有屬于這個文化的數學。按照福來登塔爾的現實教育思想，數學來源于生活，存在于現實，并且實現于現實，應該從情境出發讓學生自己發現數學概念和解決數學方法，正是這種思想是的歐拉在散步的過程中發現了七橋問題，斐波那契在兔子的繁殖問題中發現了斐波那契數列，而中國數學強調實用的管理數學，卻在算法上得到了長足的發展，祖沖之的圓周率計算、楊輝三角那樣的精致計算課題，只可能在中國誕生。數學知識之間的內在聯系，使得學生能夠從聯系中了解不同的文化背景，真正地了解數學文化。
　　3.3數學的內在聯系可以引導學生積極地反思數學學習。數學學習的過程是知識的同化和遷移的過程，反思是同化和遷移的核心步驟，學生通過反思可以挖掘知識之間的內在聯系，促進知識的同化和遷移，有利于幫助學生建立合理的知識結構和體系。目前數學教學中最薄弱的環節正是數學的反思性學習這一環節，正所謂學之道在于“悟”，只有學生自己的領悟才能獲得理解，而領悟的關鍵就在于反思。
　　3.4把握知識之間的內在聯系，可以完善認知結構，培養學生數學想象能力和創新思維。數學的各個概念、命題之間存在著各種各樣的聯系，這些內在聯系是數學想象的客觀基礎。而創新能力的培養，需要學生對于給定的數學問題，能夠在以前不相關聯的數學思維之間建立起一種聯系，能夠對學習的新知識進行再發現，對已有知識進行獨特的應用，能夠發現問題、提出問題、敢于質疑、敢于發表不同的看法，從而找出問題的獨特新穎的解法。
　　總之，數學知識體系不是一個個概念，一塊塊知識的簡單堆砌，而是有內在聯系的一個邏輯結構系統。只有把握數學知識的內在聯系，才有利于學生把數學知識結構內化為自己的認識結構，發展學生的思維并促進學生科學世界觀的形成。
　　
　　參考文獻：
　　［1］張維忠.數學課程與數學研究［M］.杭州：浙江大學出版社，2008.8.
　　［2］吳維煊.由楊輝三角構建的數學聯系［J］.數學教學研究，2010.2:54-57.