三角函數最值問題的若干解法

　　摘 要： 三角函數是高中數學中重要的內容之一，而最值問題的求解是三角函數的重要題型，在近幾年的高考題中經常出現，極具靈活性。它往往與二次函數、三角函數圖像、函數的單調性等知識聯系在一起，在求解時，一要注意三角函數式的變形方向，二要注意正、余弦函數本身的有界性，還要注意靈活選用方法。本文介紹三角函數最值問題的一些常見類型的解題方法。
　　關鍵詞： 三角函數 最值問題 解法
　　
　　1.引言
　　三角函數是重要的數學運算工具也是高中數學中重要的內容之一，而最值問題的求解是三角函數的重要題型，在近幾年的高考題中經常出現，極具靈活性.這部分內容是一個難點，它對三角函數的恒等變形能力及綜合應用要求較高.它往往與二次函數、三角函數圖像，函數的單調性等知識聯系在一起，解決這一類問題的基本途徑，同求解其他函數最值問題一樣，一方面應充分利用三角函數自身的特殊性（如有界性等），另一方面還要注意將求解三角函數最值問題轉化為求一些我們所熟知的函數（二次函數等）最值問題.
　　2.利用配方法
　　我們在學習一元二次方程解法（ax+bx+c=0其中a≠0）和一元二次函數（y=ax+bx+c其中a≠0）的時候就已經知道了配方法.其要旨是加減一次項系數一半的平方.以下我們把它遷移到三角函數求最值中，注意先把三角函數化同名，然后利用配方法.
　　例1.求y=sinx+cosx+5的最值.
　　解：y=1-cosx+cosx+5
　　=-cosx+cosx+6
　　=-（cosx-）+
　　當cosx=時，y取最大值，y=；
　　當cosx=-1時，y取最小值，y=.
　　本方法是仿二次函數的配方法，應用面比較廣，也容易領會.只要有一個三角式或兩個三角式是二次的就可以使用，該方法使用于以下各種類型的三角函數求最值問題：
　　y=asinθ+bcosθ+c?搖y=acosθ+bsinθ+c
　　我們在做這一類問題時一定要考慮對稱軸的位置.
　　3.利用換元法
　　換元法是通過換元，把復雜的函數簡單化，求出新函數定義域，運用熟悉的求常見代數函數的最值方法求解.換元是互相的，可以把三角函數換作非三角函數，也可以將非三角函數換作三角函數來求解.因此在考慮問題的時候我們就要多角度思考.
　　例3.求函數y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
　　解：設sinx+cosx=t（由類型2知|t|≤）
　　則1+2sinxcosx=t
　　即sinxcosx=
　　∴y=+t=（t+1）-1（-≤t≤）
　　∴當t=時，y=（+1）-1=+.
　　本題是將一個三角函數問題轉化為二次函數問題求解，簡單易用，主要適用于f（sinx±cosx，sinxcosx）函數類的求最值問題.該方法的本質是將一個非三角函數問題利用換元的方法化為三角函數的問題，簡便易用.
　　4.利用有界性
　　在三角函數中，正弦函數與余弦函數具有一個最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函數與余弦函數的有界性是求解三角函數最值的最基本方法.
　　例4.求函數y=的最值.
　　解：將原函數變形為：sinx-ycosx=-2y-1
　　即sin（x-θ）=-（其中θ=arctany）
　　利用|sin（x-θ）|≤1，即||≤1
　　平方整理得-≤y≤0
　　故y=-，y=0.
　　本題是充分利用了函數有界性的原理，把三角函數化做非三角函數問題求解，此種方法可以適用于以下類型的函數求解問題：
　　y=（或y=），y=，等等.
　　5.利用基本不等式
　　利用基本不等式求函數的最值，要合理地拆添項、湊常數，同時要注意等號成立的條件，否則會陷入誤區.
　　例5.求函數y=msecx+ncscx的最值.
　　解：y=m+n+mtanx+ncotx≥m+n+2|mn|，
　　故y有最小值m+n+2|mn|，無最大值.
　　本題采用了已有的不等式結論，大大地簡化了解題思路.不過這種方法不是很容易就有的，而是要靠平時的積累而來.
　　6.利用單調性
　　函數在其定義域上都是有其增減性的，我們在考慮三角函數最值時要好好利用這一知識點，把三角函數化作一種常見函數形式，再利用其單調性求最值，不失為一種好方法.
　　例6.求函數y=log+log在-≤x≤上的最值.
　　解：將原函數化為y=logcosx
　　此函數在［-，0］上遞增，在［0，］上遞減.
　　所以y=0，y=-.
　　本題要求要熟悉常見函數的單調性才可以靈活運用.
　　7.結語
　　以上總結了中學有關三角函數求最值的8種方法，每一種方法都是我們平時學習中常見的方法，可見方法來源于實踐，實踐出真知.方式方法的多樣性體現的是思維模式的多元化，這是學生數學能力得到提高的直接體現.
　　
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