巧用題目變形 拓寬學生思維

　　大千世界，到處都在發生或明顯或隱蔽的運動與變化。迅速的變化令人目眩神迷，緩慢的變化讓人不知不覺。但是，正如有些例子一樣，在變化的過程中，常常有相對不變的東西……（引自《數學金刊》初中版2010年第2期），下面就《變形》問題中所蘊涵的數學思想作一個簡單的梳理和回顧。
　　一、翻折問題
　　如圖：△ABC是一個三角形紙片，點D、E分別是△ABC邊上的兩點，如果沿直線DE折疊（圖1），則∠BDA′與∠A的關系是___。
　　方法一：可以利用三角形的外角性質（∠BDA′=∠A+∠DA′E）得到；
　　方法二：利用四邊形BDA′C的內角和為360°得到；
　　變式一：△ABC是一個三角形的紙片，點D、E分別是△ABC邊上的兩點，如果折成圖2的形狀，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的關系。
　　分析：本題要找的三個角在位置上沒有直接的關系，我們可以通過添加輔助線，連結AA′，利用三角形的外角性質，即在△DAA′和△EAA′中∠BDA′=∠DA′A+∠DAA′①，∠CEA′=∠EA′A+∠EAA′②，兩個等式左右兩邊分別相加，可得∠BDA′+∠CEA′=（∠DA′A+∠DAA′）+（∠EA′A+∠EAA′）=2∠A。當然本題也可以不添加輔助線，直接利用四邊形的內角和得到。
　　變式二：如果折成圖1的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的關系，并說明理由。
　　分析：當點A′被折到CE的下方時，三個角同樣沒有直接的聯系，這就要求學生有一定的空間想象能力，將目光鎖定在局部，∠BDA′=∠DOA+∠A①，∠DOA=∠A′+∠CEA′②，把②代入①整理可得∠BDA′-∠CEA′=2∠A。
　　梳理和回顧：在完成前面三個題的基礎上，教師引導學生總結：三個結論都與2∠A有關系，這是與翻折問題中的對應角相等是分不開的。
　　同時我們還可以引導學生探究，對于本題的條件，你認為還可以將∠A怎樣折？有學生在前面的基礎上提出還可以折向BA的右上方，此時我們希望學生自己作出圖形，并且得出結論。有了前面三題做鋪墊，學生就很容易完成了。而且還有部分學生想到，雖然圖形與第三圖不同，但本質是一樣的，因此結論稍微改變即可。由此可見，這類變式題目對于學生的思維培養是非常有幫助的。
　　二、角平分線問題
　　題目原型：如圖4，BP是∠ABC的角平分線，則∠ABP與∠PBC的關系是，∠BPC與∠A的大小關系是______，依據是什么？
　　分析：圖4直接考角平分線的性質及外角的性質，幾乎所有的學生都能完成；點P是△ABC內一點，∠BPC與∠A的大小關系是什么？
　　變式一：點P是∠ABC、∠ACB平分線的交點，則∠BPC與∠A的關系是什么？
　　變式二：點P是∠ABC平分線和∠ACB外角平分線的交點，則∠BPC與∠A的關系是什么？
　　變式三：點P是∠ABC與∠ACB兩外角平分線的交點，此時∠BPC與∠A的關系是什么？
　　引申探究：
　　探究（1），在△ABC中，∠C=90°，點P是∠ABC的角平分線和∠BAC外角平分線的交點，則∠P的度數為_________。
　　探究（2），如右圖，在△ABC和△D