時間變量離散動力系統的分布混沌

王立冬，李英男

(1.大連民族學院理學院，遼寧大連116605;

2.遼寧師范大學數學學院，遼寧大連 116029)

時間變量離散動力系統的分布混沌

王立冬1，李英男2

(1.大連民族學院理學院，遼寧大連116605;

2.遼寧師范大學數學學院，遼寧大連 116029)

研究了度量空間中具有時間變量的離散動力系統的分布混沌，介紹了時間變量系統的按序列分布混沌概念，證明了兩個一致拓撲等價共軛的時間變量系統有相同的按序列分布混沌的拓撲性質。

時間變量離散系統;按序列分布混沌;拓撲共軛

自從Li和Yorke在1975年首次用嚴格的數學語言給出了混沌的定義以來［1］，混沌的研究已在現代科學方面產生了深遠的影響，Li－Yorke混沌定義的各種延伸也被發展起來。例如，Devaney混沌、Wiggins混沌、Dense混沌、Generic混沌、分布混沌和按序列分布混沌［2］。分布混沌主旨在于利用相同的統計假設來加強“Li－York對”的定義。具有時間不變量的離散系統xn+1=f(xn)(n≥0)的混沌已經被研究，其中f:D?X→X是一個映射，(X，d)是一個度量空間，并且獲得了許多重要成果。此外，對于高維和無限維映射的研究也取得了一些重要進展。同時，一般時間變量離散系統(TVDS)也被研究［3－4］。一般時間變量離散系統(TVDS)可以寫成下列形式:

式中，fn:Dn→Dn+1是一個映射，Dn是度量空間(X，d)的一個子集。不要求fn可逆，只考慮系統(1)的正軌道，Y.Shi和 G.Chen［5］研究了有限維線性時間變量動力系統的混沌，以及關于TVDS的Li－Yorke混沌和Devaney混沌，并且研究了兩個拓撲共軛系統之間的動力學行為的聯系。表明了僅僅是拓撲共軛通常并不能保證兩個拓撲共軛時間變量系統有相同的拓撲性質。

本文研究了關于兩個一致拓撲等價共軛時間變量系統的按序列分布混沌的性質，我們考慮兩個時間變量系統(1)和

式中，gn:En→En+1是一個映射，En(n≥0)是度量空間(Y，ρ)的一個子集，證明了如下結論:

定理假設系統(1)和(2)是一致拓撲等價共軛，若系統(2)是按序列分布混沌的，則系統(1)也是按序列分布混沌的。

1 基本定義

全文中，(X，d)表示以d為度量的度量空間，fn:Dn→Dn+1是一個映射，Dn是度量空間(X，d)的一個子集。令S是一個至少包含兩個不同點的D0的子集，x0，y0∈S，x0≠y0，{pk}是一個正整數序列。對于?δ＞0，令

式中，#S表示S中元素的個數。

定義1 S被稱為系統(1)的按序列分布混沌集，如果存在一個正整數序列{pk}使得對于?x0，yo∈S，兩個相應的軌道滿足

若系統(1)有一個不可數的按序列分布混沌集，則稱該系統是按序列分布混沌的。

現在，引入TVDS中拓撲共軛和一致拓撲等價共軛的概念。

2 定理的證明

［1］ LI Tianyan，YORKE J A.Period three implies chaos［J］.Amer.Math.Monthly，1975，82:985 －992.

［2］WANG Lidong.Distributional chaos in a sequence［J］.Nonlinear Analysis，2007，67:2131 －2136.

［3］MAROTTO F R.Snap－back repellers imply chaos in［J］.J.Math.Anal.Apl，1978，63:199 －223.

［4］MAROTTO F R.On redefining a snap－back repeller［J］.Chaos Solitons Fractals，2005，25:25 －28.

［5］SHI Yuming，CHEN Guanrong.Chaos of time － varying discrete dynamical systems［J］.Journal of Different E-quations and Applications，2009，15:429 －449.

Distributional Chaos of Time－varying Discrete Dynamical System

WANG Li－dong1，Li Ying－nan2
(1.College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China;
2.School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China)

The distributional chaos of time－varying discrete systems in metric spaces has been investigated.The concept of distributional chaos in a sequence for general time－varying systems has been introduced.The conclusion that two uniformly topologically equiconjugate time－varying systems have the same distributively chaos in the sequence has been proved.

time－varying discrete system;distributional chaos in a sequence;topological conjugacy.

O189

A

1009－315X(2011)05－0462－03

2011－05－25;最后

2011－06－14

中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(10010101);遼寧教育廳基金項目(2009A141)。

王立冬(1955－)，男，吉林德惠人，博士，學校特聘教授、優秀教學帶頭人，碩士生導師，主要從事拓撲動力系統研究。

(責任編輯 鄒永紅)