可壓縮層合橡膠材料構成的柱殼的有限變形問題

牛大田，高 洋，楊文美

(大連民族學院理學院，遼寧大連 116605)

可壓縮層合橡膠材料構成的柱殼的有限變形問題

牛大田，高 洋，楊文美

(大連民族學院理學院，遼寧大連 116605)

以非線性彈性力學的有限變形理論為基礎，建立了一類可壓縮橡膠材料組成的層合柱殼受內外徑向壓力時的對稱徑向有限變形問題數學模型，得到了柱殼的徑向變形方程組，并由此得到了模型的參數型解析解，最后給出了確定參數的有效途徑。

可壓縮超彈性材料;應變能函數;平衡微分方程;非線性微分方程組;邊界條件;參數型解析解

橡膠材料如膠管、膠帶、橡膠密封圈等廣泛地應用于航空航天、精密儀器、機械制造、醫療衛生等諸多領域［1］，因此，對橡膠材料的研究屬于材料科學的研究熱點之一。橡膠材料屬于超彈性材料，其本構關系完全由它們的應變能函數給出，其材料特性及由變形引起的幾何特性都是非線性的。關于單一橡膠材料已經取得了非常豐富的研究成果，如柱體的扭轉與彎曲、球殼及柱殼的膨脹與收縮、材料中的空穴現象等等［2－4］。目前，國內外學者開始將研究目標轉移到復合橡膠材料上來。文獻［5］研究了由可壓縮超彈性材料組成的組合球體的空穴生成現象。文獻［6］從理論和實驗上研究了一類橡膠復合材料受單向及雙向拉伸的力學行為。文獻［7］對一類不可壓縮層合橡膠圓管徑向膨脹進行了穩定性分析。

本文基于非線性彈性力學的有限變形理論，建立了用于描述一類可壓縮橡膠材料組成的層合柱殼受內外徑向壓力時的對稱徑向有限變形問題的非線性微分方程組，求得了該方程組的參數型解析解，并給出了確定參數的途徑。

1 方程組及其邊界條件的建立

本文研究由雙層材料粘合成的各向同性的可壓縮超彈性柱殼受內徑向壓力p1和外徑向壓力p2時所表現的有限變形問題。因為柱殼的兩層材料的接觸部分是粘合的，因此假設粘合部分滿足關于徑向位移和徑向應力的連續性條件。在柱坐標系下，變形前后的柱殼中的點分別標識為(R，Θ，Z)和(r，θ，z)。在徑向對稱變形的假設下，柱殼變形后的構型由

給出，式中，R1，R2，R3分別為變形前柱殼的內半徑、粘合部分半徑(或稱中半徑)及外半徑，r［1］，r［2］分別為待求的兩層材料的徑向變形函數。

忽略體積力的影響，徑向變形函數 r［j］，(j=1，2)應滿足下面的平衡微分方程:

分別為材料的變形梯度張量的主伸長且滿足λ［j］i＞0，(i=1，2，3;j=1，2)，W［j］，(j=1，2)分別為兩層材料的應變能函數。

由柱殼內外表面的受力情況及中間粘合部分的連續性條件，可以得到下面的邊界條件:

因此，非線性微分方程組(2)以及邊界條件(7)～(10)就描述了由兩層材料粘合成的柱殼受徑向內外壓力時的形變問題。

2 求解

因此，式(15)和式(20)就是滿足邊界條件(7)～(10)的非線性微分方程組(2)的參數型解析解。只要確定了4個積分常數就可以根據式(15)和式(20)來研究由雙層材料粘合成的可壓縮超彈性柱殼受徑向內、外壓力時的變形問題了。

3 結語

本文根據非線性彈性力學的有限變形理論，建立了用于描述由雙層可壓縮橡膠材料粘合成的柱殼的變形問題的非線性微分方程組，并根據柱殼所受內、外徑向壓力的大小及粘合部分的連續性條件，建立了微分方程組所滿足的邊界條件。通過分別求解兩個微分方程，得到了內、外層材料的徑向變形函數的參數型解析解，其中參數可以根據邊界條件確定。

［1］劉登祥.橡膠及橡膠制品［M］.北京:化學工業出版社，2005.

［2］BEATTY M F.Topics in finite elasticity:hyperelasticity of rubber，elastomers，and biological tissues with examples［J］.Applies Mechanics Review，1987，40(12):1699－1733.

［3］HORGAN C O，POLIGNONE D A.Cavitation in nonlinearly elastic solids:A review ［J］.Applies Mechanics Review，1995，48(8):471－485.

［4］FU Yibin，OGDEN R W.Nonlinear elasticity:theory and applications［M］.London:Mathematical Society Lecture Note Series，2001.

［5］任九生，程昌鈞，朱正佑.可壓超彈性材料組合球體中心的空穴生成［J］.應用數學與力學，2003，24(9):892－898.

［6］任九生，黃興，周琎聞.纖維增強橡膠復合材料拉伸與破壞的實驗分析［J］.力學季刊，2009，30(2):237－242.

［7］袁學剛，張文正，張洪武，等.不可壓縮層合橡膠圓管徑向膨脹的穩定性分析［J］.應用數學與力學，2011，32(3):286－292.

Finite Deformation Problem of a Cylindrical Shell Composed of Composite Rubber Materials

NIU Da－tian，GAO Yang，YANG Wen－mei
(College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China)

Based on the finite deformation theory of elasticity mechanics，the mathematical model that describes the deformation problem of a cylindrical shell composed of two classes of compressible rubber materials subjected to inner and outer radial pressure has been established，and the equations of the radial deformation has been developed.Then，the analytic solution of parametric type of the model has been in hand，and the approach to determine the parameters has been provided.

compressible hyperelastic material;strain energy function;equilibrium differential equation;system of nonlinear differential equations;boundary condition;analytic solution of parametric type

O241

A

1009－315X(2011)05－0469－03

2011－05－25;最后

2011－06－24

國家自然科學基金資助項目(11001039，10872045)。

牛大田(1975－)，男，山東新泰人，副教授，博士，主要從事非線性彈性力學的解析解法及數值解法研究。

(責任編輯 鄒永紅)