一類4維Lotka-Volterra系統的Hamilton結構及動力學*

趙曉華， 戴燦華

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

0 引言

本文涉及的Lotka-Volterra系統是指下面的常微分方程組:

式(1)中:xj表示第j個物種的種群密度;A=(ajk)稱為作用矩陣，表示物種間的相互作用關系;εj是與環境相關的參數．

自19世紀20年代Lotka和Volterra分別在研究化學反應和生物問題時提出上述Lotka-Volterra(LV)系統以來，方程組(1)已經被廣泛應用于物理、化學、生物、動態博弈論、經濟和其他的社會科學中，成為應用數學領域中一個重要的微分方程模型，還被應用于許多熱門學科，如神經網絡、生物反應、細胞演化和病毒傳播等［1-6］，LV系統受到數學及其他學科領域的關注越來越多．在過去的80多年里，對LV系統的理論及應用研究成果大量涌現［7-8］．

但是，除了2維的Lotka-Volterra系統的動力學性質和一些特殊類型的高維Lotka-Volterra系統已分析清楚外，一般的高維Lotka-Volterra系統的動力學性質還遠遠沒有弄清楚，有待深入研究．

研究表明，Lotka-Volterra系統的動力學性質和它的作用矩陣的代數性質有著密切的關系．根據作用矩陣A的不同性質，Lotka-Volterra系統可分為3類［5］(定義1)．

定義1 具有作用矩陣A=(aij)的Lotka-Volterra系統稱為:

1)合作型(或競爭型)，如果對任意 i≠j，aij≥0(aij≤0);

2)保守型，如果存在一個正對角矩陣D＞0，使得AD是反對稱的;

3)耗散型，如果存在一個正對角矩陣D＞0，使得在二次型意義下AD≤0．

對于耗散型系統，考慮到模型的實際應用，更值得研究的是穩定耗散系統，即作用矩陣A及其對非零元素的小擾動所得的矩陣?A均為耗散型．

以往的研究主要涉及合作(或競爭)型LV系統，對保守型和耗散型系統的研究相對較少［5-7］．其中特別值得注意的是1998年Duarte等在文獻［5］中對這兩類系統的研究，他們證明:保守型LV系統若存在正平衡點，則它具有廣義Hamilton結構，可以表示為Poisson流形上的廣義Hamilton系統;而具有正平衡點的穩定耗散LV系統存在一個整體吸引集，其上的動力學控制方程是一個較低維數的具有廣義Hamilton結構的保守型LV系統．關于Hamilton和廣義Hamilton系統的相關知識可參閱文獻［9-10］．

根據Duarte等的這些結論可以得出，若這個吸引集是單點集，則原LV系統是全局漸進穩定的;若吸引集不是單點集，則需進一步研究吸引集上的子系統的軌道性質．因此，為了弄清穩定耗散系統在吸引集上的動力學性質，本質上就是要研究具有廣義Hamilton結構的保守型LV系統的動力學性質．

本文研究了一類具有廣義Hamilton結構的4維保守型LV系統，這個系統包含至少3族周期軌道，而對一般的參數是不可積的，并且會出現Hamilton混沌．進而也表明:一般而言，穩定耗散LV系統吸引集的結構可能非常豐富而復雜，值得深入系統地研究．

1 Hamilton結構及平衡點穩定性分析

本文考慮如下的4維Lotka-Volterra系統:

對應的作用矩陣為

式(3)中:已被標出的元素aij≠0;aijaji＜0．考慮到系統(2)的特殊結構及實際應用背景，只對不變區域

在假設條件aijaji＜0下，系統(2)實際上是一個保守型系統，因為可取對角矩陣D=diag(d1，d2，d3，d4)的對角元素為

則可使DA為反對稱矩陣．進一步，容易驗證變換xj→djxj保持系統(2)的形式不變，但作用矩陣變為DA，為反對稱矩陣．

因此，不失一般性，直接假定系統(2)的作用矩陣(3)滿足以下條件:

容易驗證，若參數 bj(j=1，2，3，4)滿足條件

則系統(2)存在唯一正平衡點

另一方面，在光滑函數空間C∞(R4+)上定義Poisson括號{·，·}為

式(8)中，A=(ajk)是滿足條件式(5)的系統(2)的作用矩陣．根據辛流形及其上定義的Hamilton系統的理論［9］，直接驗證可知{R4+，{·，·}}構成一個4維辛流形，并且有命題1成立．

命題1 在假設式(5)和式(6)成立的情況下，LV系統(2)是4維辛流形{R4+，{·，·}}上的 Hamilton系統，可將系統(2)改寫為如下Hamilton形式:

作為Hamilton系統的重要性質之一，Hamilton函數H(x)是LV系統(2)的首次積分，即H沿著系統DH(q)=0，并且Hess矩陣D2H(q)正定，從而根據Dirichlet穩定定理［10］可證得命題2．

命題2 在假設式(5)和式(6)成立的條件下，LV系統(2)的正平衡點q是Lyapunov穩定的．

最后，利用 Morse引理［11］得:對任意 h＞0，水平集 Mh={x∈R4+|H(x)-H(q)=h}拓撲等價于一個3維球面S3．

2 周期軌道

為進一步研究系統(2)的周期解，先介紹下面的Lyapunov中心定理［10］．

引理1(Lyapunov中心定理) 設(M，Ω)是一個2n維辛流形，XH是定義在M上的Hamilton向量數，則存在XH的一個過平衡點q的2維不變流形，其上充滿圍繞q的周期軌道，它們的周期隨著軌道逼

對于系統(2)的唯一正平衡點q，簡單計算即可得到其相應的特征方程為

式(10)中:

由式(5)和式(6)知 P ＞0，Q ＞0，Δ =P2-4Q ＞0．于是可得命題3．

命題3 在式(5)和式(6)成立的條件下，系統(2)在正平衡點q處的特征方程(10)有2對簡單共軛純虛根，分別為:

定理1 在式(5)和式(6)成立的條件下，系統(2)至少存在1個過平衡點q的2維不變子流形Π1，數，則存在另一個過q的2維不變流形Π2，其上充滿圍繞q的周期解，隨著這些周期解收縮到q，其相應

系統(2)除了以上周期解外，還可能存在其他周期解．

容易驗證，若系統(2)中的a23=0，但式(5)和式(6)中的其他式子仍滿足，則系統變為2個獨立的2維LV系統:

此時系統是可積的，并有2個獨立的首次積分:

而且在平衡點q處的特征值為2對簡單純虛根:

因此，系統(12)的軌道由2個子系統的軌道(均為周期軌道)組合而成，分布于I1(x)和I2(x)確定的水平集上，這個水平集由軌道的初值確定，拓撲等價于2維環面S1×S1，僅當2個子系統解的周期之比為有理數時，對應的4維系統(12)的解才是周期解，否則為擬周期環面解．

特別地，若(φ1(t，I1)，φ2(t，I1))和(φ3(t，I2)，φ4(t，I2))分別是 2 個子系統的周期解，則(φ1(t，I1)，φ2(t，I1)，q3，q4)和(q1，q2，φ1(t，I2)，φ2(t，，I2))就是對應 4 維系統(12)的 2 個周期解，而且易證它們都是Hamilton系統(2)在參數a23=0時的橢圓型周期解．根據Hamilton系統的性質，當a23≠0充分小時，Hamilton系統(2)仍然存在2個與它們對應的周期解．

定理2 在式(5)和式(6)成立的條件下，當a23≠0充分小時，系統(2)存在2族分別對應于(φ1(t，，I1)，φ2(t，I1)，q3，q4)和(q1，q2，φ1(t，I2)，φ2(t，，I2))的周期解．

3 不可積性與Hamilton混沌

根據Hamilton系統中的Liouville完全可積性定義［9-10］，若4維系統(2)還存在一個獨立于Hamilton函數H(x)的首次積分I(x)，則它的解均在H(x)和I(x)確定的水平集上，而這個水平集是緊致的(H(x)的水平集拓撲等價于3維球面)．故由完全可積性定理知，該水平集拓撲等價于2維不變環面，其上若存在周期解，則必屬于定理1中那兩族之一．

另一方面，對充分小的a23≠0，系統(2)在式(5)和式(6)成立的條件下至少有3族非退化的周期軌道．因此，可得定理3．

定理3 對充分小的a23≠0，系統(2)在Liouville意義下是不可積的．

下面用Lyapunov指數來數值論證系統(2)是否出現Hamilton混沌．

Lyapunov指數是反映一個動力系統是否存在混沌的主要工具［12］．若所考慮的動力系統存在正的Lyapunov指數，則可認為系統是混沌的．

對于系統(2)，若取參數a12=a23=a34=1，b1=b3=-1，b2=b4=1，則用數學軟件Maple計算該系統的最大Lyapunov指數，結果如圖1所示．

圖1 Lyaounov指數

從圖1可看到，系統(2)的4個Lyapunov指數中有2個為0，另外2個Lyapunov指數為±0．445．因此，此系統是混沌的．

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