(2+1)-維色散長波方程新的精確行波解*

戴振祥， 徐園芬

(1．寧波教育學院 信息與藝術學院，浙江 寧波 315010;2．浙江萬里學院 基礎學院，浙江 寧波315101)

0 引言

(2+1)-維色散長波方程［1］為

方程(1)是描述水波通過等深、狹長理想運動水道的重要方程，其中u(x，y，t)，v(x，y，t)為所示變量的物理場．文獻［2］給出了式(1)的一組廣義對稱及其李代數結構;文獻［3］利用齊次平衡法得到了式(1)的一些精確孤波解;文獻［4］給出了式(1)的類孤子解;文獻［5］給出了式(1)的孤子解和有理分式解析解;文獻［6］利用廣義射影Riccati方程得到了精確行波解;文獻［7］利用擴展橢圓函數有理展開解法得到了沖擊波解和孤立波解．本文將利用平面動力系統方法［8-11］研究該方程行波解的動力學性質，在給定的參數條件下，求出方程(1)新的峰形(谷形)光滑孤立波解和周期波解．

為研究方程(1)的行波解，作如下行波變換:

把式(2)的第1個方程關于ξ積分2次，第2個方程關于ξ積分1次，并取積分常數為0，得

方程(4)等價于系統

并有以下首次積分:

下面的目標是:首先通過定性分析得到系統(5)隨參數改變的相圖，然后得到方程(1)在參數平面上不同區域內的行波解的精確參數表達式．

1 系統(5)的所有相圖

先求系統(5)的平衡點．

設E(φe，0)為系統(5)的任一平衡點，M(φe，0)是系統(5)的線性化系統在該平衡點處的系數矩陣，用 J(φe，0)表示其 Jacobi行列式，經計算得 J(φe，0)= － f'(φe)．由平面動力系統分支理論［8-11］知，作為Hamilton系統(5)的平衡點，當 J＞0(或 J＜0)時，E(φe，0)是中心(或鞍點);當 J=0并且其Poincaré指標為零時，E(φe，0)是尖點．

通過定性分析知，隨著參數c，a的改變，系統(5)有如圖1、圖2所示的相圖．

圖1 當c＞0時系統(5)的相圖

圖2 當c＜0時系統(5)的相圖

2 方程(1)孤立波、周期波解的存在性和參數表示

根據以上結果和奇非線性行波方程研究的動力系統方法［8］知，下面的結論成立:

定理1 若下列條件之一成立，則方程(1)存在一峰形或谷形光滑孤立波解:

定理2 若下列條件之一成立，則方程(1)存在一族峰形或谷形光滑周期波解:

下面計算方程(1)在不同的參數條件下其光滑孤立波解和周期波解的參數表達式．

(5)的第1個方程得

經計算得到方程(1)的峰形光滑孤立波解的參數表達式為

②對應于系統(5)并由式(6)定義的水平曲線 H(φ，y)=h(h∈(h2，0))，設參數 r1，r2由

所定義，其中r1＞r2＞φ＞r3＞r4．利用系統(5)的第1個方程得

經計算得到方程(1)的峰形光滑周期波解的參數表達式為

所定義，其中0＞φ＞r3＞r4．利用系統(5)的第1個方程得

經計算得到方程(1)的谷形光滑孤立波解的參數表達式為

②對應于系統(5)并由式(6)定義的水平曲線H(φ，y)=h(h∈(h1，0))，經計算得到方程(1)的谷形光滑周期波解的參數表達式同式(8)．

所定義，其中r1＞r2＞φ＞φ2．利用系統(5)的第1個方程得

經計算得到方程(1)的峰形光滑孤立波解的參數表達式為

②對應于系統(5)并由式(6)定義的水平曲線H(φ，y)=h(h∈(0，h2))，經計算得到方程(1)的峰形光滑周期波解的參數表達式同式(8)．

所定義，其中φ1＞φ＞r3＞r4．利用系統(5)的第1個方程得

經計算得到方程(1)的谷形光滑孤立波解的參數表達式為

②對應于系統(5)并由式(6)定義的水平曲線H(φ，y)=h(h∈(0，h1))，經計算得到方程(1)的谷形光滑周期波解的參數表達式同式(8)．

①對應于系統(5)并由式(6)定義的水平曲線H(φ，y)=h1(H(φ，y)=h2)，經計算得到方程(1)的谷形(峰形)光滑孤立波解的參數表達式同式(11)(式(10))．

②對應于系統(4)并由式(5)定義的水平曲線H(φ，y)=h(h∈(h2，h1)或h∈(h1，h2))，經計算得到方程(1)的谷形(峰形)光滑周期波解的參數表達式同式(8)．

致謝:衷心感謝浙江師范大學趙曉華教授的指導!

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