一類新擬移位映射和M?bius帶上的吸引子*

俞春葉， 陳鳳娟

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

0 引言

1967年，Smale［1］構造了著名的馬蹄模型，并運用2-符號空間Σ2上的移位映射刻畫了它的混沌動力學性質．許多復雜的自映射存在子系統(X，f)與(Σ，σ)拓撲共軛，其中Σ為相應的符號空間，σ為移位映射．

近年來，一些文獻給出了不同于傳統移位映射的擬移位映射或部分變號移位映射，并用這些擬移位映射刻畫了某些自映射的混沌動力學性質［2-4］．

式(1)中

文獻［3］用該類映射描述了Cantor集及平面Cantor集上的混沌映射．

式(3)中，對稱元a^i的意義同式(2)．文獻［2］對τ2給出了一個具有奇異吸引子的模型，且證明了(Σ2，τ2)與移位映射(Σ2，σ)拓撲共軛．

本文了給出雙邊符號空間Σ2上的另一類新擬移位映射，它是半符號空間上的自同胚映射，并用它刻畫了M?bius帶上一類新映射?F的混沌動力學性質．

1 一類新的擬移位映射

定義 1 設集合 A={a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2|a0=0}?Σ2;B={a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2|a0=1}?Σ2．顯然，A∪B=Σ2．稱這樣的 A 和 B 為半符號空間．

定義 2 D={a=(… a-n…a-2a-1;a0a1a2… an…)∈Σ2|a-1=a0=a1=0}?A．

定義3 定義一類新的擬移位映射 τ3:Σ2→Σ2為:對?(…a-n…a-2a-1;a0a1a2…an…)∈Σ2，有

式(4)中，對稱元a^i的意義同式(2)．稱τ3為符號空間Σ2上的擬移位映射．

為便于說明，用符號“-1”代替“0”，符號“1”不變．

定義映射 ζ:Σ2→Σ2為:對?a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2，有

其中，“×”為傳統意義上的乘法運算．于是

比較式(4)與式(5)，得ζ與τ3具有相同的作用．

定理1 映射ζ是半符號空間A的自同胚．

證明 先證映射ζ既是單射又是滿射．易證ζ是單射，故只證ζ為滿射．對?s=(…s-n…s-1;(-1)

因此，映射ζ在半符號空間A上既是一一映射，又是連續映射，從而映射ζ是半符號空間A的自同胚．定理1證畢．

性質1 映射ζ有且僅有不動點a=(…(-1)(-a0)(-1)(-a0);(-1)a0a0a0…)，a0∈{1，-1}．

性質2 存在同胚映射 η:Σ2→Σ2，對?a ∈D?A，有 σ ?η(a)=η ?ζ(a)．

證明 取a=(…a-n…a-2(-1);(-1)(-1)a2…an…)∈D，作同胚映射η滿足

從而

同時

因此，σ ?η(a)=η ?ζ(a)．性質2證畢．

2 M?bius帶上的奇異吸引子

文獻［1］將 M?bius帶表示為 M={(x，p)|p=reiπx，x ∈［0，1)，r∈［-0．5，0．5)}，同時在 M 上定義連續自映射F，且用一類擬移位映射刻畫了F在不變集Λ上的混沌動力學性質．本文給出M的另一種表示方法及其上一類新的映射?F，并研究了它的動力學性質．現將M?bius帶表示為

定義

M0與M1為M?bius帶M上相接的兩部分，如圖1所示．

圖1 M?bius帶及其上映射?F的作用

在M0∪M1上定義連續自映射?F為

由以上分析及Λ'的結構知，為了得到?F在Λ'上的動力學性質，需在A中去除某些序列．記?A={s∈A| ?s=(…s-n…s-1;(-1)s1…sn…)，?N∈Z+，?i≥N，si≠1}．

定理2(?F，Λ')與(τ3，?A)拓撲共軛．

證明 關于符號的記法及二進制展開等相關知識可參考文獻［2，5］．從M?bius帶的表示方法知，M數表示分別為:

同時

因此，τ3?φ =φ ?F．定理2證畢．

從(Σ2，σ)可知，?F在其吸引子Λ'上具有混沌動力學性質．

［1］Smale S．Differentiable dynamical systems［J］．Bull Amer Math Soc，1967(73):747-817．

［2］陳芳躍，陳鳳娟．符號空間的擬移位和M?bius帶上的奇怪吸引子［J］．應用數學和力學，2003，23(7):747-754．

［3］李明軍，李開泰．一類描述混沌映射的符號動力系統［J］．高校應用數學學報，1999，14(2):125-129．

［4］麥結華．用5-進制小數描述 Smale馬蹄映射［J］．科學通報，1993，38(21):1432-1435．

［5］韓茂安，邢業朋，畢平．動力系統導論［M］．北京:機械工業出版社，2007:310-345．