一類新擬移位映射和M?bius帶上的吸引子*

俞春葉, 陳鳳娟

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

一類新擬移位映射和M?bius帶上的吸引子*

俞春葉, 陳鳳娟

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

給出了雙邊符號空間上的一類新擬移位映射,證明它是半符號空間的自同胚,并用這類新擬移位映射刻畫了M?bius帶上一類映射的混沌動力學性質.

符號動力系統;擬移位映射;M?bius帶;吸引子

0 引 言

1967年,Smale[1]構造了著名的馬蹄模型,并運用2-符號空間Σ2上的移位映射刻畫了它的混沌動力學性質.許多復雜的自映射存在子系統(X,f)與(Σ,σ)拓撲共軛,其中Σ為相應的符號空間,σ為移位映射.

近年來,一些文獻給出了不同于傳統移位映射的擬移位映射或部分變號移位映射,并用這些擬移位映射刻畫了某些自映射的混沌動力學性質[2-4].

式(1)中

文獻[3]用該類映射描述了Cantor集及平面Cantor集上的混沌映射.

1 一類新的擬移位映射

定義1設集合A={a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2|a0=0}?Σ2;B={a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2|a0=1}?Σ2.顯然,A∪B=Σ2.稱這樣的A和B為半符號空間.

定義2D={a=(…a-n…a-2a-1;a0a1a2…an…)∈Σ2|a-1=a0=a1=0}?A.

定義3定義一類新的擬移位映射τ3:Σ2→Σ2為：對?(…a-n…a-2a-1;a0a1a2…an…)∈Σ2,有

為便于說明，用符號“-1”代替“0”,符號“1”不變.

定義映射ζ:Σ2→Σ2為：對?a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2,有

ζ(a)=(…(a-n×a1)…(a-1×a1)(a0×a1);(-1)a2…an…).

其中，“×”為傳統意義上的乘法運算.于是

比較式(4)與式(5),得ζ與τ3具有相同的作用.

定理1映射ζ是半符號空間A的自同胚.

因此，映射ζ在半符號空間A上既是一一映射，又是連續映射，從而映射ζ是半符號空間A的自同胚.定理1證畢.

性質1映射ζ有且僅有不動點a=(…(-1)(-a0)(-1)(-a0);(-1)a0a0a0…),a0∈{1,-1}.

性質2存在同胚映射η:Σ2→Σ2,對?a∈D?A,有σ°η(a)=η°ζ(a).

證明 取a=(…a-n…a-2(-1);(-1)(-1)a2…an…)∈D,作同胚映射η滿足

η(…a-n…a-1;a0a1…an…)=(…(a-n×a-1)…(a-2×a-1)(a-1×a0);a0a1…an…),

從而

同時

因此,σ°η(a)=η°ζ(a).性質2證畢.

2 M?bius帶上的奇異吸引子

M={(x,p) |p=reiπ(x+1/2),x∈[-0.5,0.5),r∈[-0.5,0.5)}.

定義

M0={(x,p) |p=reiπx,x∈[0,0.25),r∈[-0.5,0.5)};

M1={(x,p) |p=reiπx,x∈[-0.25,0),r∈[-0.5,0.5)}.

M0與M1為M?bius帶M上相接的兩部分,如圖1所示.

圖1 M?bius帶及其上映射的作用

記x0～(s0s1s2…sn…),r0～(…s-n…s-3s-2s-1).類似文獻[2]的記法,將三進制展開中的2用1代替,則

式(7)中:V…s-n…s-3s-2s-1代表r的變化方向;Ms0s1s2…sn…代表x的變化方向.由Λ′的結構及式(7)知,?q∈Λ′,一定存在唯一的符號序列(…s-n…s-2s-1;s0s1s2…sn…)與之對應,記q～(…s-n…s-2s-1;s0s1s2…sn…).

φ(q)=φ(V…s-n…s-3s-2s-1∩Ms0s1s2…sn…)=(…s-n…s-2s-1;s0s1s2…sn…).

同時

因此,τ3°φ=φ°F.定理2證畢.

[1]Smale S.Differentiable dynamical systems[J].Bull Amer Math Soc,1967(73):747-817.

[2]陳芳躍,陳鳳娟.符號空間的擬移位和M?bius帶上的奇怪吸引子[J].應用數學和力學,2003,23(7):747-754.

[3]李明軍,李開泰.一類描述混沌映射的符號動力系統[J].高校應用數學學報,1999,14(2):125-129.

[4]麥結華.用5-進制小數描述Smale馬蹄映射[J].科學通報,1993,38(21):1432-1435.

[5]韓茂安,邢業朋,畢平.動力系統導論[M].北京:機械工業出版社,2007:310-345.

AclassofnewmodelshiftmapingandattractoronM?biusstrip

YU Chunye, CHEN Fengjuan

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

A class of new model shift maping was defined in bilateral symbol space. It was showed that the new model shift was a homeomorphism onto itself in a semi-bi-infinite symbolic space. A class of map on M?bius strip corresponding to the model shift was also constructed, and its dynamical behavior was described.

symbolic dynamical system; model shift maping; M?bius strip; attractor

1001-5051(2011)03-0252-04

O189

A

2010-11-17

國家自然科學基金資助項目(10872183)

俞春葉(1986-),女,浙江嘉興人,碩士研究生.研究方向:微分動力系統.

陳鳳娟.E-mail: fjchen@zjnu.cn.

(責任編輯 陶立方)