一種引入速率量測的三維變結構多模型算法*

張國棟，劉 忠，孫世巖

（海軍工程大學電子工程學院，武漢 430033）

0 引言

反艦導彈從發射到命中，飛行時間短，飛行高度低，威力大，機動性能好，突防能力強，而且能夠靈活的在空中、水面、水下發射，對我艦構成巨大威脅，同時對火控系統的跟蹤性能提出了苛刻的要求。在機動目標跟蹤領域，國內外許多學者做了大量的研究，其中VSMM算法不失為一種有效的解決方法。該方法由Li X R[1]和 Kirubarajan[2]等人所提出。實現VSMM最普遍的方法是遞歸自適應模型集合（RAMS）方法。主要由兩部分功能組成：模型集合自適應（MSA）和模型集合序列條件估計。模型集合自適應的任務是確定每一時刻MM估計器使用哪個模型集合。Li X R設計了三種模型集合自適應方法：激活有向圖（AD）方法、自適應網格（AG）方法和有向圖切換（DS）方法。

文中通過對新息殘差的自適應調整來實現模型集合自適應，屬有向圖切換法[3]。在進行模型集的設計時，針對現代觀測雷達可以輸出目標運動的距變率（徑向速度）信息，并且可以由速率陀螺獲得目標運動的角變率（角速率）信息的情況，通過附加速率觀測通道，將速率量測值（包括距變率和角變率）引入各三維子模型中，探討引入速率量測后VSMM算法性能的改善情況。

1 引入速率量測的VSMM算法

文中采用極坐標系下的量測模型和直角坐標系下的狀態模型進行目標跟蹤理論的研究。以我艦觀測雷達為原點建立空間直角坐標系，則目標在直角坐標系內的運動情況如圖1所示。

參照圖1，假設目標在水平面內作勻速直線運動，r、φ、ε是觀測雷達輸出的斜距、方位角、俯仰角信息，則˙r、˙φ、˙ε是上述信息的變化率。設斜距、方位角、俯仰角的隨機觀測誤差均方差分別為σr、σφ、σε，同時忽略系統誤差。

假設初始速度和位置為零，極坐標系與直角坐標系之間的關系如下：

圖1 火控濾波直角坐標系及目標運動情況

1.1 模型集合設計

由于目標作轉彎機動時除了位置和速度信息的變化外，還存在著高低角和方位角信息的變化，并且測量信息在三維直角坐標系下是相互耦合的，因此傳統VSMM算法對三維空間中目標的轉彎機動跟蹤效果較差，而對目標的勻速、勻加速機動跟蹤效果較好。基于以上原因，文中模型集的設定將主要針對目標的轉彎機動。設定以下9個模型集，模型集中包含各子模型：

模型集1：｛CV跟蹤模型；CA跟蹤模型｝

模型集2至模型集9為不同高低角變化率（0.05rad、0.1rad、0.15rad、0.2rad、－0.05rad、－0.1rad、－0.15rad、－0.2rad、）和 不 同 方 位 角 變 化 率 （0.05rad、0.1rad、－0.05rad、－0.1rad）的CT跟蹤模型組合，每一個模型集里面包含4個不同高低角變化率和方位角變化率的CT跟蹤模型。

上述模型集中，模型集1針對目標的直線運動，模型集2到9針對目標的曲線運動。各模型集中的子模型均為第2節介紹的引入速率量測三維跟蹤模型。

1.2 機動檢測準則設計

采用滑窗式[4]加權平方檢測法作為機動檢測準則。

定義距離函數：

由新息序列的統計性質可知，D（k）服從自由度為m的χ2分布，其概率密度函數為：

如果目標發生機動，新息d（k）將不再是均值為零的高斯白噪聲隨機過程，D（k）將會增大，因而可用下述方法檢測機動的發生與消除：取D（k）大于某一門限M的概率為a，即：

式中：a為允許的虛警概率；當D（k）＞M時，機動發生；當D（k）≤M時，機動消除。

根據文獻[6]，當概率為0.8時，窗口長度為5；χ2分布置信度0.95時，30自由度情況下門限值為43.773。

1.3 最佳模型集合選擇準則設計

采用如下最佳模型集合選擇準則：若模型集1的距離函數D（k）未超過給定閾值，則確定目標作直線運動，該集合為最佳模型集合；若模型集2到9中某一模型集的距離函數D（k）未超過給定閾值，則確定目標作曲線運動，該集合為最佳模型集合。

1.4 VSMM算法流程

1）初值選取

以觀測系統輸入的第一次觀測值為濾波器的初值，濾波器從k＝1開始工作。

2）算法描述

Step1：對VSMM進行初始化，輸入初值X1、P1；

Step2：對各模型集進行IMM濾波；

Step3：判斷出各模型集中新息殘差最小的模型集a，輸出模型集a的濾波結果；

Step4：更新量測值；

Step5：對模型集a進行IMM濾波，若濾波結果未檢測到目標機動，則輸出模型集a的濾波結果；若濾波結果檢測到目標機動，則激活其它模型集，并利用a在k－1時刻的結果對各模型集進行重新初始化；

Step6：是否停止解算？是，結束；否則，轉Step3。

2 引入速率量測的子模型設計

2.1 勻速直線運動（CV）目標跟蹤模型

取卡爾曼線性狀態方程和觀測方程中各項為：

狀態向量：

觀測向量：

狀態轉移矩陣：

將觀測雷達得到的球坐標系下的信息轉換到直角坐標系下：

觀測噪聲V（k）是零均值、白色高斯過程噪聲序列且相互獨立，協方差為：

其中系數矩陣A為：

系統誤差W（k）是零均值、白色高斯過程噪聲序列，協方差為：

2.2 勻加速直線運動（CA）目標跟蹤模型

在基于CV運動的濾波模型基礎上，將狀態向量進行擴維如下：

其余各項與CV跟蹤模型基本相同，受篇幅限制，不作贅述。

2.3 勻速圓周運動（CT）目標跟蹤模型

以x軸為例，三維空間下第k＋1時刻目標的x軸位置分量可表示為：

相應地，第k＋1時刻目標的x軸速度分量可表示為：

取系統的狀態向量為：

此時系統的狀態方程非線性，不再符合標準卡爾曼濾波的要求，需要利用擴展卡爾曼濾波（EKF）方法，將非線性觀測量在預測點處進行泰勒展開后舍去高次項，化為線性方程。

其余各項與CV跟蹤模型基本相同，受篇幅限制，不作贅述。

3 仿真實現

為了驗證文中所提算法的有效性，并且考察引入速率量測后對VSMM算法機動檢測性能的影響，對傳統VSMM算法（記為無速率量測VSMM）和文中所提算法（記為有速率量測VSMM）進行蒙特卡洛仿真實現，并計算濾波結果的均方根誤差，從而比較各算法的跟蹤性能。

3.1 仿真初始設定

設目標在三維空間內進行機動，航路特征為典型反艦導彈攻擊航路。目標前10s在水平面作速度為850m／s的勻速直線運動，高度20m；10～55s在水平面作蛇形機動，降高到10m；55～60s在水平面作比例導引運動，垂直面作躍升俯沖運動。艦艇在高度為零的水平面作勻速直線運動。初始斜距22698m；雷達采樣率50Hz；采樣持續時間30s；觀測距離隨機誤差5m；觀測距變率隨機誤差2m／s；觀測方位角、高低角隨機誤差0.9mrad；觀測方位角、高低角變化率隨機誤差0.5mrad／s。

3.2 仿真結果

圖2 目標運動軌跡及濾波效果模擬

圖2～圖4顯示，速率量測的引入可明顯改善基于新息χ2分布的VSMM算法的跟蹤性能，并且在檢測到目標機動后，有速率量測VSMM能夠做到快速收斂，保持機動檢測的穩定性和原先的算法收斂精度，這是無速率量測VSMM的機動檢測算法所不具備的。

圖3 兩種算法位置濾波誤差比較圖

下面對兩種算法的機動檢測延時情況進行詳細分析。

以目標作機動的時刻到算法檢測到機動的時刻作為機動檢測延時，經過50次蒙特卡洛仿真分析，可得結果見表1。

表1顯示，有量測VSMM比無量測VSMM的檢測延時要小很多。這是因為：滑動窗口內距離量D（k）需要累積一定數目的突變點才能檢測到目標機動；同時有量測VSMM的D（k）計算還受速度分量影響，因此距離量D（k）的變化要比無量測VSMM快。

為進一步分析速率量測對算法機動檢測延遲的影響，將有量測VSMM的距離量D（k）突變情況繪制成如圖5～圖6的圖。

圖5 目標在10s機動時的D（k）值

由圖5、圖6可知，在目標機動后的第三個采樣 點 （0.06s）左右，距離量D（k）達到最大，算法檢測到機動并切換模型集，因此在隨后的3到4個采樣點（0.06～0.08s）內D（k）值變小，機動檢測消除。

圖6 目標在55s機動時的D（k）值

4 結論

文中對可以觀測距變率和角變率的雷達觀測系統提出了一種引入速率量測的三維變結構多模型算法（VSMM）。仿真結果表明，速率量測的引入可顯著改善VSMM算法的跟蹤性能，并且可以提高對目標機動檢測的穩定性，縮短檢測延時。算法的上述優點可以明顯減少火控系統的反應時間，從而使系統對空中目標的跟蹤更為準確、迅速、穩定，具有一定工程實踐指導意義。

[1]LI X R，Bar－Shalom Y.Multiple model estimation with variable structure[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1996，24（1）：478－493.

[2]Kirubarajan T，Bar－Shalom Y，Pattipatik P，et al.Ground target tracking with variable structure IMM estimator[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2000，36（1）：26－44.

[3]A T Alouani，P Xia，T R Rice，et al.Two－stage Kalman estimator for tracking maneuvering targets[C]／／Conf.Proc.1991IEEE International Conference on Systems，Man，and Cybernetics.Decision Aiding for Complex Systems，1991：761－766.

[4]范紅旗，王勝，付強.目標機動檢測算法綜述[J].系統工程與電子技術，2009，31（5）：1064－1070.

[5]石章松，謝君.機動檢測算法特性分析仿真研究[J].計算機仿真，2007，24（9）：90－94.

[6]Y Bar－Shalom，K BIRMIWAL.Variable dimension filter for maneuvering target tracking[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1982，AES－18（5）：621－629.