非均勻線陣波束方向圖優化方法*

牛朝陽，張劍云，鄭志東

（解放軍電子工程學院，合肥 230037）

0 引言

在實際工程應用中，為了減少成本，降低系統復雜度，希望利用盡量少的天線陣元獲得需要的陣列孔徑。對于直線陣列，目前有兩種主要的陣列配置方法，一種是均勻線陣，一種是非均勻線陣。對于前者的研究比較深入，可以利用傳統的道爾夫－切比雪夫綜合法、泰勒綜合法、傅里葉逆變換法和數值優化等方法實現陣列優化；相比于均勻陣列，在相同約束條件下，非均勻陣列具有更多的自由度，可以得到更好的優化效果，目前對于非均勻陣列的優化方法主要有動態規劃法、模擬退火法等。對于25個陣元，50λ（λ為入射信號波長）孔徑長度的線陣，文獻[1]采用動態規劃法得到的方向圖峰值旁瓣為－10.14dB，文獻[2]采用模擬退火算法，得到峰值旁瓣為－12.07dB的方向圖，現有文獻均沒有對波束形成權值進行同時聯合優化。文中運用多種群并行進化遺傳算法對天線陣元進行布陣優化，采用稀疏柵格編碼和實數編碼兩種方式，優化后波束方向圖峰值旁瓣分別達到了－11.8dB和－14dB，優于文獻[2]方法1.93dB；凸優化方法結合遺傳算法對非均勻線陣進行陣元位置和波束形成權值聯合優化，可將波束方向圖峰值旁瓣下壓制到－16.58dB，優于文獻[2]方法4.51dB。

1 陣列模型

圖1所示為孔徑長度為D、陣元數為N的線陣模型。陣元間距矢量為d＝[d1＝0，d2，…，dN]·λ（λ為波長），入射信號為均勻平面波。令波束形成權值矢量為 W ＝ （W1，W2，…，WN）T，則對于無方向性陣元形成的陣列波束方向圖為：

其中，u＝sin（θ），－π／2≤θ≤π／2，θ為掃描角，k＝2π／λ。由式（1）可知，波束方向圖形狀由陣元位置d和波束形成權值W所決定，因此可以通過調整這兩個參數向量來優化方向圖。

2 基于遺傳算法的非均勻線陣布陣優化

對于非均勻線陣條件下的布陣優化，可等效為如下非線性優化問題：

其中，Psm為最大旁瓣值，Pmm為最大主瓣值，D為陣列孔徑，N為陣元數。此非線性優化問題可用遺傳算法來求解，為了防止算法早熟，采用多種群并行進化方案，算法方框圖如圖2所示。

2.1 稀疏柵格編碼的遺傳算法優化

圖2 布陣優化算法框圖

編碼是進行遺傳優化的第一步，也是關鍵的一步，對于孔徑為D個波長的陣列，以半波長為間距可以形成2D個柵格，如圖3所示。具有（2D＋1）個位置點，N個陣元非均勻的分布在這些柵格點上，采用二進制編碼形式，在某個柵格點上如有陣元記為“1”，如沒有陣元記為“0”，為了保持陣列孔徑不變，要求陣列兩個端點有陣元。因此染色體具有如下形式：

圖3 陣列柵格

對于孔徑D＝50λ，陣元數N＝25的非均勻陣列，采用上述編碼方案和最優保留策略，種群規模POP＝25，種群數量為NsubPOP＝8，采用兩點交叉，交叉概率pc＝0.6，變異概率pm＝0.01。優化結果如圖4所示。以1號陣元為參考點，陣元在線陣上的分布為[0 3 8 8.5 16 16.5 21.5 22 23 25.5 27 28 28.5 29 30 30.5 32 32.5 33 34.5 39 40 42.5 43.5 50]，單位為波長。從仿真結果來看，優化得到的波束方向圖旁瓣水平雖略高于文獻[2]，但計算量上占有優勢[3]。

圖4 稀疏柵格編碼遺傳優化方向圖

為了驗證算法的魯棒性，采用上述陣元位置優化結果，掃描波束指向即可得到不同指向時的波束方向圖，圖5給出了不同波束指向的方向圖峰值旁瓣曲線，可見，當掃描波束指向時，方向圖峰值旁瓣基本保持不變，說明該算法的魯棒性與現有文獻方法相當。

圖5 不同波束指向時的旁瓣峰值

2.2 采用實數編碼的遺傳算法優化

上述采用半波長整數倍的柵格編碼，優化變量被限制在固定長度的有限個柵格上，減少了自由度，為了進一步壓制旁瓣，可采用實數編碼[4]，為了防止陣元間的互耦，陣元間距離必須大于dc，假設前（N－1）個陣元都向后占據長度為dc線段，則共有長為（N－1）dc的線段上不能分布陣元，剩下的區間總長為：

在區間[0 S]上生成（N－2）個隨機ci，i＝1，2，…，N－2，把這（N－2）個數按照從小到大的順序排列為c1≤c2… ≤cN－2，記c0＝0，cN－1＝D，x0＝0，xN－1＝0，那么陣元位置的編碼為：

可以證明[5]：式（5）所采用的編碼方式滿足任意陣元間距大于dc的條件，因此在優化過程中不需要再考慮此約束條件。此種編碼方式的染色體為：

圖6 實數編碼方向圖優化

對于孔徑D＝50λ，陣元數N＝25的非均勻稀布陣列，采用上述編碼方案和最優保留策略，種群規模POP＝20，種群數量為NsubPOP＝10，采用隨機遍歷選擇策略，單點交叉，交叉概率pc＝0.6，變異概率pm＝0.01。優化所得方向圖如圖6所示，陣元分布為[00.62 2.02 3.33 4.30 5.10 6.10 6.8 8.56 11.18 11.8 12.53 13.33 14.10 14.94 16.69 17.40 18.22 19.04 20.78 21.90 22.60 25.5 26.38 50]，單位為波長，結果保留小數點后兩位有效數字。波束指向45°時的方向圖如圖7所示，此時出現較大旁瓣，因此可以得到結論：采用實數編碼在一定程度上壓低了方向圖旁瓣（－14dB），優于文獻[2]方法1.93dB，但算法魯棒性有所變差。

圖7 實數編碼方向圖優化（波束指向45°）

3 波束形成權值和陣元位置聯合優化

3.1 凸優化理論概述

凸優化，又稱為凸規劃，提出于上世紀40年代，發展到上世紀90年代，人們已經認識到很多優化問題都表現出凸性，因此優化問題的分水嶺不是線性與非線性，而是凸性與非凸性。近年來，凸優化在理論研究和工程應用方面取得了顯著進展，通過合理的系統建模和求解算法，很多工程問題可以借助凸優化這一數學工具得到有效解決。通常認為，只要是凸問題，總是可解的，因此，只要一個問題被表示為凸形式，則該問題實際上就已經被解決了。凸優化問題的基本數學模型為：

其中，f0，f1，…，fm為凸函數，等式約束為仿射函數。

3.2 非均勻線陣波束形成權值優化

對于非均勻線陣的波束形成權值優化，不能采用均勻線陣的窗函數方法，可以借助凸優化方法解決此優化問題。在圖1所示陣列模型中，陣列方向矢量可以表示為：

則式（1）可以寫為：

其中，（·）H表示共軛轉置。以最小化方向圖峰值旁瓣為目標對權值進行優化，此問題可以描述為：

其中：As為方向圖旁瓣區域為方向圖指向。顯然式（10）是非線性優化問題，很難給出解析形式的最優解，但可以肯定的是：在陣元位置確知的情況下，式（10）滿足凸優化條件[6]，因此可以利用凸優化進行求解。

3.3 聯合優化

將凸優化算法和遺傳算法結合起來，對陣元位置和波束形成權值進行聯合優化，有望進一步壓低方向圖峰值旁瓣。有兩種聯合優化方法，一是先利用遺傳算法對陣元位置進行優化，然后根據已知的陣元配置進行權值優化，此種方法可稱之為串行聯合優化；二是在利用遺傳算法進行位置優化的過程中，在每代染色體適應度值計算過程中引入凸優化來尋找最佳波束形成權值，此種方法可稱之為并行聯合優化。

圖8 稀疏柵格編碼聯合優化方向圖

圖9 實數編碼聯合優化方向圖

計算機仿真表明，兩種聯合優化方法得到的波束方向圖旁瓣水平相當，因此下面僅給出針對前面陣列優化結果，利用凸優化方法進行波束形成權值優化所得的波束方向圖和優化權值。圖8給出了針對稀疏柵格編碼遺傳優化所得陣列進行權值凸優化后的方向圖，可見，方向圖峰值旁瓣下降到－13.3dB，其優化權值為：[0.0271 0.0202 0.0356 0.0202 0.0303 0.0321 0.0363 0.0422 0.0414 0.0552 0.0560 0.0545 0.0500 0.0604 0.0699 0.0473 0.0554 0.0486 0.0615 0.0514 0.0199 0.0205 0.0341 0.0164 0.0134]；圖9給出了針對實數編碼遺傳優化所得陣列進行權值凸優化后的方向圖，峰值旁瓣下降到－16.58dB，其優化權值為：[0.0103 0.0086 0.0329 0.0237 0.0361 0.0355 0.0366 0.0444 0.0435 0.0639 0.0562 0.0426 0.0715 0.0631 0.0687 0.0509 0.0553 0.0611 0.0459 0.0365 0.0339 0.0394 0.0162 0.0214 0.0018]。這里優化權值為實數是合理的，因為優化時波束指向為0°，因此實際上只需要進行幅度加權即可。

4 結論

對于非均勻線陣，在給定陣元數和陣列孔徑的約束條件下，文中討論了以降低波束方向圖峰值旁瓣為目標的陣元位置和波束形成權值優化方法。對于陣元位置優化，采用基于柵格編碼和實數編碼多種群并行進化遺傳算法，前者魯棒性優于后者，但后者優化效果好于前者和文獻[1－2]；對于陣元位置和波束形成權值的聯合優化問題，采用凸優化與遺傳算法相結合的聯合優化方法，可將方向圖峰值旁瓣壓制到－16.58dB。文中方法在陣列優化、波束形成等工程應用中具有實用意義。

[1]Arora R K，Krishnamacharyulu N C.Synthesis of unequally spaced array using dynamic programming[J].IEEE Trans.on Antennas Propagation，1968，AP－16（7）：593－595.

[2]Murino V，Trucco A，Regazzoni C S.Synthesis of unequally paced arrays by simulated annealing[J].IEEE Trans Antennas Signal Processing，1996，44（1）：119－123.

[3]張子敬，趙永波，焦李成.陣列天線的遺傳優化[J].電子科學學刊，2000，22（1）：174－176.

[4]陳客松，何子述，韓春林.非均勻線天線陣優化布陣研究[J].電子學報，2006，36（12）：2263－2267.

[5]張昭陽，趙永波，黃敬芳.任意位置稀布陣天線的遺傳優化[J].火控雷達技術，2009，38（3）：68－70.

[6]楊潔.基于凸優化的寬帶陣列方向圖綜合算法[J].微計算機信息，2009，25（5－1）：288－290.