三種湍流模型在跨聲速繞流中的計算精度分析＊

鄭秋亞，左大海，劉三陽

（1西安電子科技大學理學院，西安 710071；2長安大學理學院，西安 710064）

0 引言

在雷諾平均 Navier－Stokes（RANS）方程計算中，計算結果的精度不僅與所用格式的精度有關，而且與湍流模型對流動的模擬精度有很大的關系。目前工程中應用最為廣泛的湍流模型主要包括：Spalart－Allmaras（SA）一 方 程 模 型[1]，Wilcox’s k－ω[2]（Wilcox）兩方程模型和 Menter’s SST[3]（SST）兩方程模型。長期以來，人們在工程應用中發現不同湍流模型表現出了不同的特性，因此研究湍流模型對流動的模擬精度，對CFD模型的選取和CFD計算精度的提高有著重要的意義。

文中以ONERA M6機翼和DLR－F6翼身組合體[4]為例，采用具有高精度和穩定性良好的Roe格式[5]，通過求解RANS方程分析SA、Wilcox和SST湍流模型對跨聲速流動的模擬精度，為更高準確度湍流模型方程的建立和CFD模型的選取提供參考。

1 控制方程

控制方程為時間相關的三維守恒型RANS方程，在一般曲線坐標系下其形式為：

式中：t為時間，Q為守恒變量，E、F、G為無粘通量，Ev、Fv、Gv為粘性通量。

計算方法為格心式有限體積方法，無粘項使用Roe格式＋MUSCL插值方法[6]，粘性項使用中心差分格式，時間采用隱式LU－SGS推進方法[7]。湍流模型選用SA、Wilcox和SST三種模型。

2 湍流模型

SA模型是從經驗和量綱分析出發，針對簡單流動而逐漸補充發展成為適用于帶有層流流動的固壁湍流流動的一方程模型。由于計算量小，魯棒性好而成為當今應用最為廣泛的一方程模型。Wilcox模型是積分到壁面的兩方程渦粘性模型，在粘性子層具有較好的數值穩定性。SST模型綜合了Wilcox模型和k－ε模型的優點，在靠近壁面的附面層內采用Wilcox模型，以利用湍流模型對逆壓梯度比較敏感的特點，在遠離附面層的流場中，采用k－ε模型，以克服 Wilcox模型對自由流條件比較敏感的缺陷。文中將這三種模型用于跨聲速流動的RANS方程數值模擬，旨在研究它們在跨聲速流動中的特性和計算精度。

3 計算結果與分析

3.1 ONERA－M6機翼

M6機翼是人們歷來用于考察求解RANS方程

、跨聲速流動條件下模型方程和湍流模型方程性能的理想算例模型。計算網格為C－O型網格，沿周向、徑向和展向網格點數分別為249×65×49，計算狀態為M∞＝0.84，α＝3.06°，Re＝1.172×107。

圖1給出三種模型沿機翼表面2個典型站位（20%，80%）處計算壓力系數分布與實驗數據的比較。從圖1可以看出，三種模型預測到的機翼表面壓力系數分布和激波位置一致，與實驗數據吻合良好。就此簡單外形的算例和計算狀態來說，三種湍流模型預測的壓力系數分布沒有明顯區別。

圖1 不同湍流模型壓力系數分布的比較

圖2是SA、Wilcox和SST三種模型的收斂歷程。計算中，SA模型的CFL數最大可取到10，SST模型的CFL數可取5.5，而 Wilcox 模 型 的CFL數可取到5.3，SA模型表現出高的收斂速度和計算效率。

表1是三種模型預測到的氣動力結果。從表1可以看出，三種模型的升力系數最大相差0.009；阻力系數最大相差0.0008。為定量分析湍流模型對各氣動力的影響程度，文中特引入變異系數指標[8]，以SA、Wilcox和SST三種模型的計算結果構成5個具有不同平均數的氣動力樣本數據集，求得各參數項的變異系數。各參數項的變異系數指標表明，湍流模型對升力影響較小，對阻力特別是摩擦阻力影響較大。

圖2 殘值收斂歷程

表1 不同湍流模型的氣動力計算結果

3.2 DLR－F6翼身組合體

使用美國AIAA阻力測試小組第二屆專題討論會（DPW Ⅱ）公布的多塊結構對接網格[4]，對來流馬赫數M∞＝0.75，攻角a＝－0.34°，0.49°，1.23°工況的DLR－F6翼身組合體外形進行RANS方程耦合SA、Wilcox和SST三種湍流模型的全湍流計算。計算中雷諾數Re＝3.0×106（基于平均氣動弦長），圖3是DLR－F6翼身組合體表面網格。

圖3 DLR－F6翼身組合體的表面網格

圖4是三種湍流模型在不同攻角條件下，2個典型站位（37.7%，84.7%）處的機翼表面計算壓力系數分布與實驗數據的比較。從圖4可以看出，三種湍流模型均能給出與實驗數據吻合較好的壓力系數分布。SA模型的壓力系數分布和激波位置與SST模型的保持一致，Wilcox模型預測到的激波位置較SST模型的激波位置偏后。這種偏后程度，在相同計算條件下，隨著機翼展向位置向翼梢處的推移逐漸變大；在機翼同一站位處，隨著自由來流攻角的增大而增大。說明，Wilcox模型的結果受自由來流條件的影響較大。

用Cij表示表2中第i列與第j列對應數值之差的絕對值。

圖4 機翼表面壓力分布與實驗數據的比較

表2給出了SA、Wilcox和SST三種湍流模型預測到的力和力矩系數、實驗值和三種模型的氣動力參數之差的絕對值。從表2可以看出，SST模型的力和力矩系數最接近實驗數據，SA模型的結果處于SST和Wilcox兩模型的結果之間。其中，SA模型的升力和壓差阻力與SST模型的接近，而摩擦阻力與Wilcox模型的接近。不同湍流模型升力系數數據集的離散度較小，而阻力系數特別是摩擦阻力系數數據集的離散度較大。這一現象與表1中的一致，進一步表明，湍流模型對升力影響較小，而對阻力尤其是摩擦阻力影響較大。

4 結論

采用Roe格式耦合隱式LU－SGS時間推進方法，通過求解RANS方程，詳細分析了SA、Wilcox和SST湍流模型在跨聲速繞流中的特性和計算精度，有以下結論：

1）在跨聲速流動中，SA模型的壓力系數分布和激波位置與SST模型的一致，Wilcox模型的激波位置較前者偏后。這種偏后程度，在相同攻角條件下，隨著機翼表面展向位置的增大而增大；在相站位處，隨著攻角的增大而增大。

表2 湍流模型對氣動力的影響（DLR－F6WBα＝0.49°）

2）在跨聲速繞流中，SA模型表現出與SST模型相當的模擬能力。SST模型的結果與實驗數據最接近，Wilcox預測的升力和摩擦阻力較大。

[1]Spalart P R，Allmaras S R.A one－equation turbulence model for aerodynamic flows，AIAA 92－0439[R].1992.

[2]Wilcox D.Reassessment of the scale－determining equation for advanced turbulence models[J].AIAA Journal，1998，26（11）：1299－1310.

[3]Menter R.Zonal two equation k－ωturbulence models for aerodynamics flows，AIAA 93－2906[R].1993.

[4]Laflin K R，Klausmeyer S M，Zickuhr T.Summary of data from the second AIAA CFD drag prediction work－shop，AIAA 04－0555[R].2004.

[5]Roe P L.Approximate Riemann solvers，parameter vectors，and difference schemes[J].Journal of Computational Physics，1981，43（2）：357－372.

[6]Van Leer B.Towards the ultimate conservative difference schemeⅢ[J].Journal of Computational Physics，1977，23（3）：263－275.

[7]Yoon S，Jameson A.Lower－upper symmetric－Gauss－Seidel method for the Euler and Navier－Stokes equations，AIAA 87－0600[R].1987.

[8]鄭秋亞，劉三陽，周天孝.DLR－F6翼身組合體跨聲速阻力計算[J].西安交通大學學報，2010，44（9）：115－121.