夾層旋轉扁殼軸對稱非線性穩定的樣條函數解法

侯朝勝

(天津大學建筑工程學院，天津 300072)

夾層板殼因重量輕、剛度大等優良特性在航空、航天、航海和海洋工程得到廣泛應用．在進行非線性的計算時，由于數學上的困難，一般都采用Reissner模型．劉人懷[1]首先建立夾層圓板非線性彎曲方程，他同其他作者進一步推廣到夾層扁球殼[2-6]和夾層扁圓錐殼[7-8]．本文把文獻[9]的公式和方法推廣，計算夾層旋轉扁殼的非線性穩定，而把球殼或圓錐殼作為其特例．

1 基本方程及邊界條件

設夾層旋轉扁薄殼的中面方程為

式中：Z為中面豎向坐標；r為徑向坐標；μ為表板泊松比；h為殼厚度；b i為無量綱常數；c為殼底面圓半徑．設夾層扁殼受分布荷載(r)或均布邊緣力矩作用，采用文獻[9]的Reissner 模型、符號和無量綱量，再引入

旋轉夾層扁殼的無量綱非線性彎曲方程式及轉角[2-3,8-9]為

不考慮邊緣的徑向力和預應力，問題的邊界條件[9]為

2 問題求解

選3 次B 樣條函數為試函數，分劃x 定義域為n等分，分點號依次為0，1，…，n．虛設2 個結點為－1 和n＋1，取s＝1/n，xi＝i/n，設

采用同文獻[9]一樣的推導過程，把式(11)和式(12)代入式(3)和式(4)，對第i個結點可得

對i＝0 結點，若忽略中心的奇異性得，即

對邊界條件式(6)～式(9)進行推導可得

式(13)～式(20)共2n＋6 個非線性方程，用牛頓迭代法求解可以確定2n＋6 個待定系數Bi、Ci(i＝－1，0，1，…，n，n＋1)．進一步可得內力及撓度．撓度表達式為

式中積分常數c1由邊界條件式(10)確定．

解非線性方程的方法和收斂精度見文獻[9]．

用試算法計算扁殼的穩定性，采用拋物線法[6]或逐步加(減)載法[10]確定上、下臨界荷載．

3 算例及說明

所有算例中，表板泊松比μ＝0.3．表中點數n即為式(11)～式(21)的n．表中的數據均為無量綱．表1～表3 中3 種殼的中面坐標參數如下．

表1 受均布荷載作用的夾層殼的臨界荷載(K＝0.05)Tab.1 Critical loads of sandwich shells subjected to uniformly distributed load (K＝0.05)

表2 受均布荷載作用的夾層殼的臨界荷載(K＝0.01)Tab.2 Critical loads of sandwich shells subjected to uniformly distributed load (K＝0.01)

表3 受9次多項式分布荷載作用的夾層殼的上、下臨界荷載(K＝0.01)Tab.3 Critical loads of sandwich shells subjected to 9-degree polynomial distributed loads (K＝0.01)

(1) 圓錐殼：v＝1，b1＝10．

(2) 球殼：v＝2，b1＝0，b2＝10．

在表4～表6 中，文獻[2，4，8]的數據是按圖估計，然后換算得出的．文獻[6]的數據是用冪函數法得出的．

表4 受均布邊緣力矩的簡支夾層球殼的臨界荷載Tab.4 Critical loads of spherical sandwich shells with simply supported edge subjected to uniform edge moments

表4 受均布邊緣力矩的簡支夾層球殼的臨界荷載Tab.4 Critical loads of spherical sandwich shells with simply supported edge subjected to uniform edge moments

n M0,upper M0,lower文獻[2] 15 3.3文獻[6] 13.307,23 5.077,565 5 13.57 4.812 20 13.23 5.062 100 13.308 5.076,9 200 13.3074 5.077,36 2 000 13.307,268 5.077,508,5 5 000 13.307,267 5.077,509,8

表5 受均布荷載作用的夾層扁球殼的上、下臨界荷載及中心撓度(K＝0.05)Tab.5 Upper，lower critical loads and central deflection of shallow spherical sandwich shells subjected to uniformly distributed load (K＝0.05)

表6 固定夾緊夾層扁圓錐殼受均布荷載的臨界荷載(K＝0.05)Tab.6 Critical loads of shallow conical sandwich shells with rigidly clamped edge subjected to uniformly distributed loads(K＝0.05)

4 結 論

(1)本文導出了計算夾層旋轉扁殼的大撓度公式的一般形式．本文的解與冪函數法的解[3，6]非常一致，說明本文提出的方法是可靠的、有效的．與攝動解差別較大是因為攝動解[2，4，8]是低階解，精度較低．

(2)一般地說，如浮點數的有效數字足夠長，只要點數增加，可得到更高精度的解答．用不同的點數計算同一問題，比較它們的結果可判斷解的精度和收斂范圍．

(3)計算球殼的精度高于計算圓錐殼的精度．因計算下臨界荷載時，殼處于大變形狀態，故一般情形下，計算下臨界荷載的精度低于計算上臨界荷載的精度．

(4)對比表1 和表2，可見剪切參數K對計算結果有較大的影響．不論支承條件，3 種殼(圓錐殼、球殼、余弦殼)的上臨界荷載及上、下臨界荷載的差值隨K值的減小而增大．

(5)使用冪函數法，結果表明剪切參數K對收斂范圍的影響大．若K增加一點，收斂的荷載范圍迅速減小，對簡單支承影響更大(見文獻[6]結論5)．使用本文的方法可解決這一問題．也就是說當剪切參數K增加，使收斂的荷載范圍減小時，在較大荷載范圍內，用本文的方法仍能得到收斂的解．這表明了冪函數解的收斂范圍遠小于樣條函數解的收斂范圍．

(6)整個程序用Fortran 語言寫成，計算時僅需輸入中面坐標形狀參數、剪切參數、泊松比、支承條件、點數、荷載、計算臨界荷載的方法(逐步加載法、拋物線法等)及第1 個荷載的初值，就可求出臨界荷載．

(7)據筆者所知通用的有限元程序 ANSYS、ABAQUS 等均沒有Reissner 模型．本文的結果可為開發此類問題的計算程序提供參考解答．本文方法比有限元法的計算時間少．

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