基于滑動窗DFNN的含有復雜條款認股權證定價模型

孫 彬， 李鐵克

(北京科技大學 經(jīng)濟管理學院 北京 100083)

基于滑動窗DFNN的含有復雜條款認股權證定價模型

孫 彬， 李鐵克

(北京科技大學 經(jīng)濟管理學院 北京 100083)

將Black-Scholes模型與動態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡相結合，構建一種含有復雜條款的認股權證定價模型.通過設定一定長度的滑動窗來保持采用固定長度的數(shù)據(jù)進行模型結果參數(shù)調整，同時采用動態(tài)調整前提參數(shù)策略，確保定價模型的泛化能力.以我國權證市場中認股權證阿膠EJC1為例進行分析，結果表明，提出的定價模型與RBF模型相比準確性較高，并且對權證價格走勢判斷較為準確.

認股權證定價； Black-Scholes模型； 滑動窗口； 動態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡

0 引言

自Black-Scholes(B-S)期權定價模型建立以來，該模型便成為權證定價的理論基礎[1]，國內外很多學者對認股權證的定價都進行了深入的研究[2-4].但是權證價格的變化是模糊的，變化的規(guī)律是不清晰的，變化的結果具有高度容錯性，并具有復雜的動態(tài)非線性特征.B-S定價模型難以反映這種復雜性，在實際操作上易產(chǎn)生價格偏誤等問題.為了避免在嚴格假設下參數(shù)化模型的不足，神經(jīng)網(wǎng)絡模型在期權定價中得到了廣泛的關注和研究[5-9].混合BP神經(jīng)網(wǎng)絡是由文獻[6]提出并最早將其用于期權定價，它是通過BP網(wǎng)絡來擬合參數(shù)化模型和實際市場價格差對期權進行定價.對混合BP神經(jīng)網(wǎng)絡的研究表明[7]，由于其部分減輕了上述缺陷而使其預測結果要好于BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型和經(jīng)典的B-S模型.而模糊神經(jīng)網(wǎng)絡既可以解決傳統(tǒng)模糊推理中隸屬函數(shù)的系統(tǒng)設計，又可以解決神經(jīng)網(wǎng)絡的黑箱問題；并且通過將專家知識結合到模糊神經(jīng)網(wǎng)絡中，可以提高收斂速度、縮短訓練時間.因此，模糊神經(jīng)網(wǎng)絡成為針對非線性系統(tǒng)仿真研究的一個熱點，并形成了一個較為完善的體系[10-11].現(xiàn)有模糊神經(jīng)網(wǎng)絡主要存在4點不足：①網(wǎng)絡結構選取主觀化或在結構設計時僅利用樣本的輸入信息而未利用輸出信息和誤差信息，從而造成網(wǎng)絡出現(xiàn)過訓練或過擬合現(xiàn)象；②神經(jīng)網(wǎng)絡的作用都只是對模糊系統(tǒng)參數(shù)的學習和優(yōu)化，并對可能的變化在參數(shù)上作自適應調整，而較少有針對網(wǎng)絡結構的優(yōu)化設計；③網(wǎng)絡的學習方式多為BP算法，但是BP算法具有速度較慢且容易陷入局部極小點的缺陷；④網(wǎng)絡多為靜態(tài)模型，不適用于在線控制.

針對以上問題，作者結合B-S模型與動態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(dynamic fuzzy neural network，DFNN)建立含有復雜條款的認股權證定價模型；并通過設定滑動窗口使得模型保持采用固定長度的數(shù)據(jù)來調整參數(shù)，避免數(shù)據(jù)飽和.本模型可以實現(xiàn)參數(shù)估計與結構辨識同時進行以及對認股權證定價的動態(tài)在線控制.

1 含有復雜條款的認股權證定價模型

2 滑動窗動態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡

DFNN是以認股權證定價公式(warrants pricing model，WPM)為基礎，訓練結構如圖1(a)所示，用權證市場價格與WPM計算價格之差作為DFNN的指導信號.DFNN模型訓練好之后，固定網(wǎng)絡的權值、網(wǎng)絡拓撲結構及模糊規(guī)則.根據(jù)新的權證輸入數(shù)據(jù)，得到模型的定價輸出，具體結構如圖1(b)所示.

(a)

(b)

圖2 DFNN的結構Fig.2 Structure of DFNN

2.1DFNN結構

DFNN的結構是一個擴展的徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡與Takagi-Sugeno-Kang(TSK)模型相結合的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡，結構如圖2所示.

x1,x2,…,xr是輸入的語言變量，y是系統(tǒng)的輸出，MFij是第i個輸入變量的第j個隸屬函數(shù)，Rj是第j條模糊規(guī)則，Nj表示第j個歸一化結點，wj是第j個規(guī)則的結果參數(shù)或者連接權，u是系統(tǒng)總的規(guī)則數(shù),i=1,2,…,r,j=1,2,…,u.

第一層：輸入層.每個節(jié)點代表一個輸入的語言變量.

第二層：隸屬函數(shù)層.每個節(jié)點分別代表一個隸屬函數(shù)，該隸屬函數(shù)采用高斯函數(shù):

(1)

其中，μij是xi的第j個隸屬函數(shù)，cij是xi的第j個隸屬函數(shù)的中心，σj是xi的第j個高斯隸屬函數(shù)寬度.r是輸入變量數(shù)，u是隸屬函數(shù)的數(shù)量，即系統(tǒng)總的規(guī)則數(shù).

第三層：T-范數(shù)層.每個結點分別代表一個可能的模糊規(guī)則中IF-部分.第j個規(guī)則Rj的輸出為

(2)

其中，X=(x1,x2,…,xr)∈Rr,Cj=(x1j,x2j,…,xrj)∈Rr，是第j個RBF單元的中心.

第四層：歸一化層.這些節(jié)點為N節(jié)點，第j個節(jié)點Nj的輸出為

(3)

第五層：輸出層.每個節(jié)點分別表示一個輸出變量，該變量是所有輸入信號的疊加,即

(4)

其中，y是輸出變量，wk是THEN-部分或第k個規(guī)則的連接權.對于TSK模型,

wk=αk0+αk1x1+…+αkrxr,k=1,2,…,u.

(5)

將式(2)、(3)、(5)帶入式(4),則

(6)

2.2DFNN學習算法

Step0初始化模型預定義參數(shù)：輸入空間的最大長度dmax，最小長度dmin，衰減常數(shù)γ(0<γ<1)；模型設定最大誤差emax，期望精度emin，收斂常數(shù)β(0<β<1)；初始高斯隸屬函數(shù)寬度σ0；RBF神經(jīng)元重疊因子k(k>1)；RBF神經(jīng)元寬度更新因子kw(kw>1)；模糊規(guī)則顯著性閾值kerr；

Step1當?shù)谝粋€觀測數(shù)據(jù)(X1,t1)得到后，此時DFNN還沒有建立起來，因此C1=X1,σ1=σ0；

Step4當?shù)趇個觀測數(shù)據(jù)(i=1,2,…,n;n>ls)進入滑動窗時，判斷i≤ls是否成立，若是，則所有的數(shù)據(jù)保留在窗中，轉Step 6；否則，轉Step 5；

Step5窗中數(shù)據(jù)通過接受ls個最新的數(shù)據(jù)，并刪除最舊的數(shù)據(jù)進行更新，轉Step 6；

Step6根據(jù)文獻[12]提出每個RBF單元的可容納邊界不是固定的而是動態(tài)調整的：開始可容納邊界設置較大，以實現(xiàn)全局學習，隨著學習邊界逐漸減小，開始局部學習.令動態(tài)參數(shù)kd=max[dmax×γi,dmin]，判斷dmin>kd是否成立，若是則轉Step 7；否則，轉Step 9；

Step8根據(jù)文獻[13]提出的誤差下降率作為修剪策略：ηi反應第i個規(guī)則的重要性，ηi越大表示第i個規(guī)則越重要.判斷ηi

W=(α10…αu0α11…αu1…α1r…αur)；Ψ=(φ,φX1,…,φXr)T∈R(r+1)u×n.

Step11判斷i

3 仿真實驗與分析

3.1實驗數(shù)據(jù)及預處理

對含有復雜條款認股權證的定價研究將對認股權證的投資起直接的指導作用，同時也可以提供風險控制策略支持，因而具有重要的實際意義.以認股權證阿膠EJC1為研究對象，選取其上市時間2008-07-18至2009-04-09共175個樣本數(shù)據(jù)進行定價分析，其中選取2008-07-18至2009-01-20的權證數(shù)據(jù)與標的股票數(shù)據(jù)作為模型的訓練樣本，2009-01-21至2009-03-24的相應數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù).認股權證阿膠EJC1(031007)的標的股票為東阿阿膠(000423)，發(fā)行人為山東東阿阿膠股份有限公司.權證存續(xù)起始日為2008-07-18，存續(xù)終止日為2009-07-18；行權起始日為2009-07-13，行權終止日為2009-07-17.公司的流通股股數(shù)N為40 244.28萬股，認股權證份數(shù)m為13 094萬份，執(zhí)行比例n為1∶1，初始執(zhí)行價X為5.50元；公司于2008-08-27日針對2007年業(yè)績實施分紅，8月28日除權后，認股權證的最新執(zhí)行價X為5.434 9元.

因此，模型的輸入指標為GT，X，T-t，r，σs，VG,i，Wi，VW,i，其中，Wi為認股權證第i天的日收盤價，VG,i，VW,i分別為標的股票與認股權證第i天與第i-1天成交量自然對數(shù)的差(i=1,2,…,164).考慮到DFNN要求對數(shù)據(jù)進行歸一化處理，設樣本數(shù)據(jù)為xi(i=1,2,…,n)轉化為[-1,+1]區(qū)間的數(shù)據(jù).

3.2實驗評價指標

采用以下評價指標：v1是規(guī)格化的均方誤差，v2是平均絕對差，v3是方向一致性指標.其中，v1與v2是對預測值偏離實際值的一種度量，值越小表示預測的結果越準確.v3則能衡量出定價方向的正確比率，值越大表示一致性越高.計算方法為

3.3實驗環(huán)境與結果分析

采用Matlab語言在PC Pentium 4 /CPU 3.0 GHz /RAM 1.0 G上編程實現(xiàn)上述模型.為了測試模型的有效性，將模型對認股權證阿膠EJC1的定價與實際價格進行比較.

實驗1：DFNN模型滑動窗參數(shù)對定價效果的影響.

窗長度ls在辨識時變系統(tǒng)中起著非常重要的作用.較小的ls將會導致極大地遺漏前面的數(shù)據(jù)，而較大的ls可能導致DFNN的更新能力下降，使得模型的參數(shù)無法辨識.如圖3所示，當ls∈[90,100)時，v1隨著ls值的變大而變小，v3先保持不變，后逐漸變大；當ls∈[100,118]時，v1隨著ls的增大而逐漸平緩，同時v3先變大隨后逐漸平緩；當ls∈(118,125]時，雖然v1仍有一定改善，但代表定價方向正確比率的v3卻降低了.因此，經(jīng)過比較,選取滑動窗長度ls=118.

(a) ls與v1的關系圖

(b) ls與v3的關系圖

圖4 非線性動態(tài)系統(tǒng)辨識Fig.4 Nonlinear dynamic system identification

實驗2：DFNN模型與RBF模型定價評價指標比較.

DFNN模型的各項評價指標分別為：v1=0.084 5<0.120 2,v2=0.017 0<0.021 4,v3=82.05>69.23，不僅在精確度方面比RBF模型有所提高，而且在定價方向一致性上有較大改善.DFNN模型以WPM模型的定價結果與權證實際結果的差值作為指導信號，并結合標的股票市場及權證市場中的交易量變化率等能夠反應市場能量的指標，使得DFNN不僅具有傳統(tǒng)權證定價一致性較好的優(yōu)勢，同時能通過DFNN智能學習真實市場中的信息，實現(xiàn)定價的精確性.

DFNN模型能根據(jù)樣本特征動態(tài)生成模糊規(guī)則，如圖4所示，經(jīng)過124個訓練數(shù)據(jù)，規(guī)則數(shù)穩(wěn)定在2.但規(guī)則數(shù)保持穩(wěn)定不代表規(guī)則不變，當新的樣本數(shù)據(jù)加入，前提參數(shù)(寬度)和結果參數(shù)一直保持更新，而且一條新規(guī)則的產(chǎn)生可能會剔除一條或兩條已有的規(guī)則而同樣保持系統(tǒng)的精確.

另外，模型可以根據(jù)自動生成的模糊規(guī)則建立針對含有復雜條款認股權證的專家規(guī)則庫.設xi,j表示第j個輸入樣本的第i維向量(i=1,2,…,5,j=1,2,…,40)，根據(jù)DFNN推導出模糊規(guī)則為

Rk:ifx1,jisμ1,kandx2,jisμ2,kandx3,jisμ3,kandx4,jisμ4,kandx5,jisμ5,kandx6,jisμ6,kandx7,jisμ7,kandx8,jisμ8,kthenuk,jisφk,j.

根據(jù)式(5)知,結果參數(shù)wk,j為

w1,j=517.75+180.94x1,j+12.60x2,j+434.04x3,j-276.95x4,j-283.50x5,j-16.39x6,j-217.96x7,j-5.12x8,j,

w2,j=-514.59-184.81x1,j-13.01x2,j-429.89x3,j+273.83x4,j-281.63x5,j+16.02x6,j+221.02x7,j+5.19x8,j.

最后，由式(6)推出含有復雜條款的認股權證DFNN定價模型為y(X)=w1·φ1,j+w2·φ2,j.

4 結束語

針對含有復雜條款的認股權證構建了基于DFNN的定價模型.該模型無需對復雜、非線性且具有嚴重不確定性的金融系統(tǒng)提出經(jīng)驗性假設條件，可利用傳統(tǒng)認股權證定價模型以及相關的輸入/輸出數(shù)據(jù)進行學習并進行預測.DFNN定價模型能夠提取模糊規(guī)則，動態(tài)生成網(wǎng)絡結點，自動進行輸入空間劃分.ERR修剪技術的應用，使得網(wǎng)絡結構不會持續(xù)增長，避免了傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡的過擬合及過訓練現(xiàn)象，確保了定價模型的泛化能力.研究DFNN定價模型滑動窗長度的取值范圍，并針對阿膠EJC1確定了最優(yōu)窗口長度.仿真結果表明，所提出的DFNN認股權證模型定價準確性較高，具有傳統(tǒng)認股權證定價模型對權證走勢判斷較為準確的特點，為研究認股權證定價提供了一種新思路，具有一定的理論意義和工程應用價值.

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SlidingWindowedDFNNPricingModelofWarrantswithComplexTerms

SUN Bin， LI Tie-ke

(SchoolofEconomicsandManagement,UniversityofScienceandTechnologyBeijing,Beijing100083,China)

A pricing model of warrants with complex terms was proposed based on dynamic fuzzy neural network (DFNN) and Black-Scholes model．In order to get optimized result-parameters of model with fixed-length time series data,a sliding window was set for DFNN．A dynamic adjustment approach of premise parameters was introduced to improve generalization ability of the model．Comparing with RBF pricing model,DFNN showed smaller deviation and higher accuracy in pricing EJiao EJC1．

warrant pricing;Black-Scholes model;sliding window;DFNN

F 830.91

A

1671-6841(2011)04-0104-06

2011-03-04

國家自然科學基金資助項目，編號70771008，70371057.

孫彬(1983-)，男，博士研究生，主要從事金融工程及人工智能研究，E-mail:sunbinangel@yahoo.com.cn.