帶負顧客的GI/Geom/1工作休假排隊

郭曉瓊， 馬占友

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

帶負顧客的GI/Geom/1工作休假排隊

郭曉瓊， 馬占友

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

考慮帶負顧客的GI/Geom/1工作休假排隊．負顧客一對一抵消正在服務的正顧客(若有)，若系統中無正顧客，到達的負顧客自動消失，負顧客不接受服務．服務規則為先到先服務．工作休假策略為空竭服務多重工作休假．用矩陣幾何解方法,求得到達前夕系統隊長的穩態分布、隊長分布的概率母函數及平均隊長．

離散時間排隊； 負顧客； 工作休假； 矩陣幾何解； 穩態分布； 母函數

0 引言

國內外許多學者已對經典休假排隊系統作了廣泛而深入的研究[1-3].在實際中，休假時服務員不完全停止工作，而是以較慢的速率進行服務，這樣的系統稱為工作休假排隊系統．當較慢的服務速率退化為零時，就得到了經典休假模型．故工作休假排隊是經典休假排隊的一種推廣．Servi等[4]最早引入了工作休假策略，從而引發了各種離散時間工作休假排隊的研究．目前，工作休假排隊系統[4-6]已成為國內外專家研究的熱點．

作者研究工作休假策略下的離散時間排隊，所謂離散時間排隊是指到達間隔和服務時間都是正整值隨機變量的排隊模型．帶負顧客的排隊模型[7-8]已應用于一些領域，如通信系統、生產制造系統、銷售系統等．負顧客可看成服務系統中出現的一次對服務臺的外來干擾．

1 模型的描述

GI/M/1排隊的離散時間變體是GI/Geom/1模型，在GI/Geom/1工作休假排隊系統中引入帶RCH(removal customers at the head)抵消策略的負顧客，顧客到達只能發生于離散時刻t=n-,n=0,1,2,…,服務的開始和結束都發生于離散時刻t=n+．該系統是具有正、負兩類顧客的單服務臺系統，一旦系統內無正顧客，服務員立刻開始一個隨機長度V的工作休假．在工作休假期間，服務員以低的服務率接待正顧客．若結束一次工作休假時系統內無正顧客，則繼續一個獨立同分布的工作休假．若在一個工作休假期結束時系統中已有正顧客，則服務員終止工作休假并開始以正常服務率(即更高的服務率)接待正顧客，并開始一個新的正常忙期，直到服務臺再次變為空閑．負顧客的到達服從幾何分布．模型的基本假設是：

假設到達間隔、服務時間和工作休假時間是相互獨立的，并服從先到先服務規則．

2 狀態轉移概率矩陣

2.1嵌入Markov鏈

Ω={(k,0),k≥0}∪{(k,1),k≥1}．

其中，kj(j≥0)表示正常服務期一個到達間隔離去j個正顧客的概率；bj(j≥0)表示工作休假時間大于一個到達間隔時間，并在該到達間隔內離去j個正顧客的概率；cj(j≥0)表示工作休假時間小于一個到達間隔，并在整個到達間隔內恰好離去j個正顧客的概率．它們的母函數分別計算為

2.2狀態轉移分析

①當從狀態(i,1)到(j,1)時，表示正常服務期一個到達間隔內離去i+1-j個正顧客，有

(1)

(2)

③當從狀態(i,0)到(j,1)時，表明工作休假時間小于到達間隔且在該間隔內恰好離去i+1-j個正顧客．假設在工作休假期內離去k個正顧客，正常服務期內離去i+1-j-k個正顧客，則有

(3)

④當從狀態(i,0)到(0,0)和狀態(i,1)到(0,0)時，類似分析給出

2.3轉移矩陣

因此，f(z)在(0,1)內有唯一的零點．

(7)

對方程(7)的各項計算是：

將這些結果代入方程(7)，得到r12=β(σ-α)>0.

3 穩態隊長分布及隨機分解

定理2當ρ<1且0<θ<1時，到達前夕的穩態分布是

因此，穩態下到達前夕的隊長L-分布是

穩態下系統處于工作休假和正規忙期的概率分別是

證明對隊長L-的分布取母函數，有

由上述隨機分解結果，可得到達前夕的平均隊長

4 數值例子

通過分析，得到了穩態下的平均隊長．顯然，在該模型中如果改變系統參數設置，將對系統隊長有一定的影響．該部分主要考慮正顧客的到達間隔服從定長分布的特殊模型，其中，約定參數λ=0.5．

根據平均隊長E(L-)的表達式，當μb=0.6和μv=0.2時，隨著ε的增加，E(L-)相應減少．如果固定ε值，隨著θ的增加，E(L-)也相應減少(見圖1)；當μb=0.6和θ=0.3時，隨著μv的增加，E(L-)相應減少．如果固定μv值，隨著ε的增加，E(L-)也相應減少(見圖2)．

圖1 E(L-)隨ε的變化趨勢Fig.1 The relation of E(L-) with ε

圖2 E(L-)隨μv的變化趨勢Fig.2 The relation of E(L-) with μv

[1] Takagi H.Queueing Analysis[M].Amsterdam:North-Holland,1993:89-183.

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[9] 田乃碩,徐秀麗,馬占友.離散時間排隊論[M].北京：科學出版社,2008:141-144．

TheGI/Geom/1QueuewithNegativeCustomersandWorkingVacations

GUO Xiao-qiong, MA Zhan-you

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

A GI/Geom/1 queue with negative customers and working vacations was discussed. Negative customers removed positive customers only one by one at the tail(if present). When a negative customer arrived,if the system was empty,it would disappear. Negative customers need no services. The serve rule was first come first served. The working vacation policy was exhaustive and multiple working vacations.By using matrix-geometric solution,the steady-state distributions were obtained for the number of customers in the system at arrival epochs.And the generating function of distributions and the average value of the number of customers were obtained.

discrete-time queue； negative customer； working vacation； matrix-geometric solution； steady-state distribution； generating function

O 226

A

1671-6841(2011)04-0028-05

2011-01-18

河北省高等學校科學技術研究指導項目，編號Z2010182.

郭曉瓊(1984-)，女，碩士研究生，主要從事休假排隊系統的理論研究，E-mail:261222guoxiaoqiog@163.com；通訊作者：馬占友(1974-)，男，副教授，博士，主要從事休假排隊系統的理論研究．