基于Copula理論的A股與H股尾部相關性研究

天津財經大學 馮紹輝

基于Copula理論的A股與H股尾部相關性研究

天津財經大學 馮紹輝

以往在研究變量間的相關性方法中，線性相關系數和Granger因果分析方法是常用的較簡單的方法，然而，線性相關系數要求變量間的關系是線性的，其不能度量變量間的非線性，Granger因果分析只能給出定性的結論，不能加以定量的描述。而由Copula函數及其導出的一致相關測度可以很好地刻畫變量間的非線性，非對稱性的關系和厚尾分布的相關關系。本文就以A股和H股市場指數為研究對象探討其變量間的相關性，以期為實際的投資策略研究及風險管理提供參考。

一、Copula函數與秩相關系數概述

（一）Copula函數定義 Copula函數實際上是連接隨機變量邊緣分布的累積分函數。Skiar指出對于一個具有一元邊緣分布的聯合分布函數F，F為n維的分布函數，它有邊際分布函數F1，…，Fn，那么存在一個Copula函數C滿足：

如果F1，…，Fn是連續的，則copula函數是唯一確定的，反之可以得到C（u1，…，un）=F（F1-1（u1），…，Fn-1（un）），其中ui∈［0，1］（i=1，2，…，n）

（二）常用的Copula函數 橢圓Copula和Archimedean類Copula是實際研究中常用到的類型。橢圓Copula主要包括正態Copula和學生t—Copula，在正態Copula函數模型中，極端事件的發生總是彼此獨立的，即接近于0或1的可能性彼此獨立，而在學生t—Copula函數中極端事件總是相關的。實際中金融資產的分布通常并不滿足橢圓Copula的性質，所以大多數學者更為關注的是Archimedean Copula。Archimedean Copula函數的類型主要包括Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula等。

（三）Kendall秩相關系數的定義及與Copula函數關系Copula函數尾部相關系數計算中要用到秩相關系數，現介紹Kendall的秩相關系數 τ定義：設（X1，Y1）和（X2，Y2）是獨立同分布隨機向量，令τ（X，Y）=P（（X1-X2）（Y1-Y2）>0）-Pr（（X1-X2）（Y1-Y2）<0），于是τ就度量了X與Y變化的一致性程度。可以證明τ=2Pr（（X1-X2）（Y1-Y2）>0）-1。

從上式可以看出 τ∈［-1，1］。

設（X，Y）相應的連接函數C（u，v），則 τ可以由C（u，v）函數得到：

Genestand Mackay證明Kendall的 τ和Archimedean Copula的生成函數 φ（t）存在如下關系，可以求出τ與Archimedean Copula類的θ的關系如表1所示：

學者Frees E.W.與ValdezE.A.對常見的copula函數的適用情況有過研究，得出Gumbel Copula函數的密度函數具有非對稱性，GumbelCopula函數對變量在分布上尾處的變化十分敏感，因此能夠快速捕捉到上尾相關的變化，可用于描述具有上尾相關特性的金融市場之間的相關關系，如它可以很好地描述牛市時期股票市場間相關性增強的情形；Clayton Copula函數對變量在分布下尾處的變化十分敏感，因此能夠快速捕捉到下尾相關的變化，可用于描述具有下尾相關特性的金融市場之間的相關關系，如它可以很好地描述熊市時期股票市場間相關性增強的情形；Frank Copula的密度分布呈“U”字型，具有對稱性，因此無法捕捉到隨機變量間非對稱的相關關系。

表1 Archim edean Copulas的生成函數及τ的表達式

Copula函數的尾部相關關系公式為：

二、實證研究

首先由股價的運行趨勢判斷適用哪類的Copula函數，求得兩類指數的秩相關系數τ，再利用表格所示，求出相應的θ，將θ代入相應的Copula（u，v）函數，求出C（u，v）函數，在代入尾部相關系數公式，求出不同概率水平下的相關系數值。

為研究A股和H股的相關性，選取A股指數和香港國企指數（H股）的收盤價為樣本數據，時間長度為2005年9月14日至2010年6月30日，由于這段時間爆發次貸危機股市劇烈震蕩，以2007年10月30日為分界點，第一階段為股市急劇上升階段，第二階段為股市下降后平穩震蕩階段，以Rij＝lnPij，t－Pij，t－1（階段i＝1，2；股市j＝A股，H股；時間為t）數據整理及分析工具為Excel和Eviews6.0。

（一）第一階段數據分析 用Eviews軟件計算得秩相關系數tau=0.2，由于此階段的股價是急劇上升的，利用Gnmbel coupla函數，由θ與τ關系求的θ＝1.25，代入函數C（a，a），進而求出尾部相關系數。根據Copula函數的尾部相關關系公式和CnmbelCopula函數可以計算在不同的概率值下的尾部相關系數。結果如表2所示。表2中前3個為下尾相關系數，后3個為上尾相關系數。

表2 第一階段不同a水平下的尾部相關系數

從表2中可以看出隨著α的增大，上尾相關系數趨近于0.265，而下尾在α＝0.1時等于0.1815，這說明當A股收益率低于q0.1時，H股指數的收益率以18.15%的概率低于q0.1，當A股指數的收益的分位數高于q0.95時，H股指數的收益27.5%的概率高于q0.95相比較兩股市同時跌漲的概率，兩股票市場同時發生上漲的概率比較大。

（二）第二階段數據分析 此階段的股票指數價格先下降后平穩，利用Clayton Copula函數分析，由秩相關系數tau＝0.379687，計算相應的θ＝1.224179，利用第一階段的方法求得相應的尾部相關系數如表3所示：前3個為下尾相關系數，后3個為上尾相關系數。

表3 第二階段不同a水平下的尾部相關系數

從表3中可以看出隨著α的增大，上尾相關系數趨近于0.022，而下尾在α＝0.1時等于0.5819，這說明當A股收益率低于時，H股指數的收益率以58.19%的概率低于q0.1，當A股指數的收益的分位數高于q0.95時，H股指數的收益5.4%的概率高于q0.95，相比較兩股市同時跌漲的概率，兩股票市場同時發生下跌的概率比較大。

由上漲階段和下降階段的尾部相關系數可知，當A股股市上漲時同時上漲的概率較大，下跌時同時下跌的概率較大，且同時下跌的概率較大，證明兩股市有同向運動的趨勢，投資者或政策制定者可以利用這種現象，采取決策。

［1］Sklar A．Fonc tions de repartition an d imensions et leurs marges．Pub lication de l’Insfitut de Statistique de l’Universit6 de Paris．1959，8：229—231．

［2］Nelsen R B．An Introduc tion to CopulaslM］．New York：Sp ringer，1998．

［3］Frees E W，Valdez E A．Understanding relationships using copulas．North American Ac tuarial Journal，1998，2（1）：l一25．

［4］韋艷華、張世英、郭焱：《金融市場的相關程度和相關模式的研究》，《系統工程學報》2004年第4期。

［5］余平、鐘波：《基于copula函數的滬深股市相關性研究》，《山西師范大學學院》（自然科學版）2007年第9期。

（編輯 杜 昌）