一道“希望杯”賽題的拓廣及其應用

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(漾濞縣第一中學 云南大理 672500)

一道“希望杯”賽題的拓廣及其應用

●范花妹秦慶雄

(漾濞縣第一中學 云南大理 672500)

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(2010年第21屆“希望杯”全國數學邀請賽高二第一試試題)

這道題設計新穎、綜合性極強，集中考查了多個知識點，是一道有較好區分度的好題,值得我們深入研究.若將其推廣為一般問題進行研究，則可獲得如下命題.

圖1

證明如圖1,不妨設點A位于點B的上方，直線l是與焦點F相對應的準線，點A,B在l上的射影分別為C,D，點B在AC上的射影為H.由橢圓定義得

即

在Rt△ABH中，有

|AH|=|AC|-|HC|=|AC|-|BD|=

(1)

將式(2)代入式(1)，得

(3)

又

|AB|=|AF|+|FB|=λ|BF|+|FB|=

(λ+1)|FB|,

(4)

且λ≠1，由式(3)知|AH|≠0，所以在Rt△ABH中，

將式(3)和式(4)代入式(5)，得

即

若將橢圓拓廣到雙曲線或拋物線中進行研究，則可獲得如下命題.

命題2和命題3的證明與命題1類似，此處從略.根據相似性，可將上述3個命題統一為：

上述定理反映了圓錐曲線焦點分弦所得的比和弦所在直線的傾斜角(或斜率)之間的內在聯系.如果掌握了上述定理，那么圓錐曲線焦點分弦所得的比和弦所在直線的傾斜角(或斜率)之間的問題便可迎刃而解.下面以近2年的高考題為例，說明上述定理在解題中的應用.

先給出例1的解答.

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(2010年全國數學高考理科試題Ⅱ)

解因為

所以由定理得

解得

因此

故選B.

(2010年全國數學高考理科試題Ⅰ)

解設橢圓的中心為O,焦點弦BD所在直線的傾斜角為θ.在Rt△BOF中，有

又λ=2,由定理得

解得

(2010年遼寧省數學高考理科試題)

解得

( )

(2009年全國數學高考理科試題Ⅱ)

解得

故選A.

從上面幾例可以看出，本文給出了圓錐曲線中一個統一的定值，提供的方法可有效地解題，特別是選擇題和填空題.需要注意的是，由于該定理不是課本結論，在求解解答題時不宜直接作為解題依據，但可以利用證明定理的思路直接求解.