圓錐曲線中一類過定點問題的統一性質

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(啟東中學 江蘇啟東 226200)

圓錐曲線中一類過定點問題的統一性質

●金山

(啟東中學 江蘇啟東 226200)

筆者通過一個橢圓定點問題的探究,層層深入,最終將問題推廣到圓錐曲線的一般情形.現將探究過程簡述如下，與大家分享.

在此題中,直線AM和AN的斜率乘積為-1,直線MN經過一定點.當過頂點的這2條弦斜率乘積為任一定值時,直線MN還經過一定點嗎?經過探究得到以下性質.

證明設M(x1,y1),N(x2,y2).不妨取頂點A(a,0)(其余情形證明類似),則

于是

(1)

(1)若直線MN斜率存在，設其方程為y=kx+m(k≠0).直線MN的方程與橢圓方程聯立,消去y得

b2x2+a2(kx+m)2-a2b2=0.

因為x1,x2是它的2個根,所以

b2x2+a2(kx+m)2-a2b2=

(b2+a2k2)(x-x1)(x-x2).

記f(x)=(x-x1)(x-x2),則

于是

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=

(2)

(3)

式(2)，式(3)代入式(1)得

解得

(2)若直線MN的斜率不存在，設其方程為x=m,則

代入式(1)得

解得

因此

即

設直線MN的方程為x=ky+m,代入拋物線方程消去x得

y2-2pky-2pm=0.

由韋達定理得

y1y2=-2pm,

因此

即

以上探討了過圓錐曲線一條弦的2個端點與頂點連線斜率乘積為定值時,該弦過對稱軸上的一定點.反之,經過對稱軸上的一定點的弦的2個端點與頂點連線斜率是否為定值呢?經過進一步探究,得到以下結論.

證明(1)設M(x1,y1),N(x2,y2),不妨取右頂點為A(a,0).設直線MN的方程為x=ky+t,代入橢圓方程消去x得

b2(ky+t)2+a2y2-a2b2=0.

因為y1,y2是它的2個根,所以

b2(ky+t)2+a2y2-a2b2=

(b2k2+a2)(y-y1)(y-y2).

令f(y)=(y-y1)(y-y2),則

因此 (x1-a)(x2-a)=

(ky1+t-a)(ky2+t-a)=

(2)略.