貌似神離的兩類恒成立

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(蘇苑中學 江蘇蘇州 215128)

貌似神離的兩類恒成立

●楊品方

(蘇苑中學 江蘇蘇州 215128)

1 提出問題

觀察下面2個問題：

問題1已知f(x)=8x2+16x-a,g(x)=2x3+5x2+4x(a為實數)，若對任意的x∈[-3,3]都有f(x)≤g(x)恒成立，求實數a的取值范圍.

問題2已知f(x)=8x2+16x-a,g(x)=2x3+5x2+4x(a為實數)，若對任意的x1,x2∈[-3,3]都有f(x1)≤g(x2)恒成立，求實數a的取值范圍．

筆者發現，學生對這2個問題的求解很多是靠運氣的，這次練習中做對了，下次測試中也許又做錯了．究其原因，這2個問題雖然“貌似”但又“神離”，下面讓我們來好好辨別．

2 觀察問題

問題1中的“f(x)≤g(x)恒成立”，左、右兩邊所取“自變量”是同一個，譬如f(1)≤g(1),f(-2)≤g(-2)，但又不包括如f(1)≤g(-2)等．事實上,f(1)與g(-2)是不能比較大小的，也沒有必要去比較大小，如圖1所示．

問題2中的“f(x1)≤g(x2)恒成立”，左、右兩邊所取“自變量”可以相同，還可以不相同，譬如f(1)≤g(1),f(1)≤g(-2)等．事實上，只要是f(x1)，總有小于等于g(x2)的部分，如圖2所示(圖中水平虛線僅作分界，不是圖像)．

圖1

圖2

問題2的條件比問題1的條件要“嚴格”，問題2中a的取值集合是問題1中a的取值集合的子集．

3 解答措施

問題1的解答通常是：記函數h(x)=f(x)-g(x)，求出[-3,3]上h(x)的最大值h(x)max，解不等式h(x)max≤0，從而得到實數a的取值范圍．此處

h(x)max=45-a≤0，

故a≥45．

問題2的解答通常是：分別求出[-3,3]上f(x)的最大值f(x)max，g(x)的最小值g(x)min，解不等式f(x)max≤g(x)min，從而得到實數a的取值范圍．此處

f(x)max=120-a，g(x)min=-21,

從而

120-a≤-21,

故

a≥141.

4 應用舉例

例1已知函數f(x)=lnx-ax2+(2-a)x．

(1)討論f(x)的單調性；

(3)若函數y=f(x)的圖像與x軸交于點A,B，線段AB中點的橫坐標為x0,證明：f′(x0)<0.

(2011年遼寧省數學高考理科試題)

分析(1)略；

(3)略.

解(1)略；

g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax，

求導得

故

(3)略.

(1)用a表示出b,c；

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍．

(2010年湖北省數學高考理科試題)

分析(1)略；

(2)不等式f(x)≥lnx的左、右兩邊是同一個變量x，應歸屬于“問題1”類型.

解(1)由題意可得

(2)由第(1)小題知

其中x∈[1,+∞),易得g(1)=0．為研究g(x)，求導得

(2011年陜西省數學高考理科試題改編)

分析要證不等式的左、右兩邊是同一個變量x，應該歸屬于“問題1”類型．

解由題意可知

因此

當x>1時，h′(x)<0，h(x)在(1,+∞)內單調遞減，因此

h(x)

從而

(1)當a=1時，求函數f(x)的最小值；

分析(1)略；

簡解(1)f(x)的最小值為1(過程略).

例5已知函數f(x)=xlnx，g(x)=-x2+2ax-3．

(1)求f(x)在區間[1,3]上的最小值；

(2)若f(x),g(x)在區間[1,3]上單調性相同，求實數a的取值范圍；

(3)求證：對任意的x∈(0,+∞)，都有

分析(1)，(2)略；

于是

圖3

貌似神離、似是而非的2個恒成立問題，因為左、右兩邊變量的不同，而導致答案數據相差甚遠．通過上述實例的分析可以發現，解決這類問題之前要先判斷問題屬于哪一類.對于問題1類型的，需考慮差函數，研究該差函數的最大或最小值；對于問題2類型的，先分別求出2邊的最大或最小值．尤其要注意的，也是最難的當屬例5類型的，表面上是問題1類型(因為左右的變量相同)，實際上是問題2類型(因為一邊的最小與另一邊的最大作比較)，這也需要我們在解題受阻(像例5的分析)時能及時、有效地調整思路．