一道競賽試題的推廣與引申

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(春谷中學 安徽南陵 241300)

一道競賽試題的推廣與引申

●鄒守文

(春谷中學 安徽南陵 241300)

由《中學數學教學參考》組織的第4屆中學生數學智能通訊賽八年級有這樣一道試題：

設0

這是一道筆者提供的題目，通過對該題的分析，獲得下面的推廣與引申.

命題1設正實數a,b,x,y滿足a

先證明下面的引理.

引理設P為△ABC內一點，則

AB+AC>PB+PC.

證明如圖1，延長BP至點D，則

AB+AD>BD,PD+DC>PC,

相加得

AB+AC+PD+>BD+PC,

即

AB+AC>PB+PC.

圖1

圖2

下面對命題1進行證明.

證明構造如圖2所示的矩形ABCD,使AN=a，CM=b,PN=x,PM=y,則

在△APC中，AP+PC≥AC,因此

又由引理知,在△ANC中,有

AP+PC

從而

故

說明這里采用了構造法，非常直觀.

在命題1中,令a=b=1,y=1-x,即得第4屆中學生數學智能通訊賽試題.

只需在命題1中取x=1,y=2,a+b=2,即得

累次運用命題1左邊的不等式，可以得到更一般性的形式：

命題2設a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn為正實數，則

運用命題2能夠非常簡單地解決一類代數最小值問題.

解當x>12時，y沒有最大值和最小值;當x<0時，y也沒有最大值和最小值.

當0

因為

所以y的最小值為13.

累次運用命題1右邊得不等式,又可以得到：

命題3設a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn為正實數，且a1

特殊情況:當a1=a2=…=an時,有

推論1設b1,b2,…,bn,m為正實數，則

例2已知a,b,c,d,e是正實數，且a+b+c+d+e=2，求證：

證明由推論1知

對命題2和命題3進行引申,又能得到：

命題4設m為正實數，b1,b2,…,bn為非負實數，則

證明首先證明:設m為正實數，b1,b2為非負實數，則

?

?

?

(m2+b1)(m2+b2)≥m2(m2+b1+b2)

?

b1b2≥0,

且b1,b2為非負實數，所以最后一式顯然成立.累次運用上述不等式，得

考慮命題4的上界，有

命題5設m為正實數，b1,b2,…,bn為非負實數，則

證明由方差公式知

所以

故

于是

命題4和命題5在求一類非負數的取值范圍或不等式的證明時往往能起到一定的作用.

例3已知正實數a,b,c,d,e滿足a+b+c+d+e=1，求證：

證明由命題4,可得

[1] 王懷祥，白平.例說構造矩形或正方形求最小值[J].初中數學教與學，2011(1)：26-27.

[2] 干超一.輪換對稱式最值求法[J].中等數學，2011(2)：15-18.