圓錐曲線與焦點弦的中點及準點有關的一個性質

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(常德市第六中學 湖南常德 415003)

圓錐曲線與焦點弦的中點及準點有關的一個性質

●彭世金

(常德市第六中學 湖南常德 415003)

筆者通過對圓錐曲線的探究,得到圓錐曲線與焦點弦的中點及準點(準線與對稱軸的交點)有關的一個性質,現介紹如下.

圖1

消去x,化簡整理得

(a2+b2m2)y2+2b2cmy-b4=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

于是

從而直線AE的斜率為

直線PQ的斜率為

因為

kAE-kPQ=

所以

kAE=kPQ,

即

AE∥PQ.

圖2

圖3

性質3如圖3,已知拋物線y2=2px(p>0),AB是拋物線過焦點F的弦,拋物線的準線l與對稱軸的交點為E,點B在準線l上的射影為Q,點P是弦AB的中點,則AE∥PQ.

性質2、性質3類似于性質1可證,此處從略.